1) Хочу уточнить информацию о процессе сборки и раскраски параллелепипеда. Параллелепипед был собран из маленьких

  • 43
1) Хочу уточнить информацию о процессе сборки и раскраски параллелепипеда. Параллелепипед был собран из маленьких кубиков, как изображено на рисунке. Затем он был окрашен снаружи со всех сторон. После того, как краска высохла, параллелепипед снова был разобран на кубики. Сколько извлеченных кубиков имеют одну или две окрашенные грани?
Светлана_9601
59
Для решения этой задачи нам потребуется представить процесс сборки и раскраски параллелепипеда более подробно.

Допустим, у нас есть параллелепипед, состоящий из \(n\) маленьких кубиков в каждом измерении (длина, ширина и высота). Таким образом, общее количество кубиков в параллелепипеде будет \(n^3\).

Сначала параллелепипед собирается из \(n^3\) кубиков. Каждый кубик имеет 6 граней, но так как они собираются вместе, то некоторые кубики будут иметь общие грани и между собой и с другими кубиками. Поэтому изначально у каждого кубика есть более 0, но меньше 6 окрашенных граней.

Затем параллелепипед окрашивается снаружи со всех сторон. Это значит, что каждый кубик получает окраску только на его внешних гранях, а грани, соприкасающиеся с другими кубиками, имеют общую окраску.

После того, как краска высохла, параллелепипед разбирается на \(n^3\) кубиков. Теперь для каждого кубика нам нужно определить, сколько окрашенных граней у него осталось.

Для каждого кубика имеется несколько вариантов:

1) Кубик расположен на внутренней части параллелепипеда и его все грани соприкасаются с другими кубиками. Такой кубик не имеет окрашенных граней.

2) Кубик находится на поверхности параллелепипеда и имеет только одну окрашенную грань, которая ранее была внешней стороной параллелепипеда.

3) Кубик находится на ребре параллелепипеда и имеет две окрашенные грани: одну как внешнюю на поверхности параллелепипеда, и другую, которая ранее была гранью между двумя поверхностями параллелепипеда.

4) Кубик является вершиной параллелепипеда и имеет три окрашенные грани: одну как внешнюю на поверхности параллелепипеда, и две, которые ранее были гранями между тремя поверхностями параллелепипеда.

Теперь давайте посмотрим на количество таких кубиков.

1) Внутренние кубики (не имеющие окрашенных граней): чтобы определить количество таких кубиков, нам нужно учесть, что внутренние кубики находятся внутри параллелепипеда во всех трех измерениях, за исключением кубиков на границе. То есть, в каждом измерении будет на \(n-2\) внутренних кубика: \(n-2\) кубика в длине, \(n-2\) кубика в ширине и \(n-2\) кубика в высоте. Таким образом, общее количество внутренних кубиков будет \((n-2)^3\).

2) Кубики на поверхности (имеющие одну окрашенную грань): количество кубиков на поверхности можно определить, учитывая, что они находятся только на внешних сторонах каждого измерения. Таким образом, в каждом измерении будет \(n\) кубиков на поверхности. Общее количество кубиков на поверхности будет \(n\) умножить на общее количество граней, которые есть у параллелепипеда. Так как у параллелепипеда 6 граней, общее количество кубиков на поверхности будет \(6n\).

3) Кубики на ребрах (имеющие две окрашенные грани): чтобы определить количество кубиков на ребрах, нам понадобится знание о том, сколько ребер у параллелепипеда и сколько ребер находятся в каждом измерении. У параллелепипеда всего 12 ребер, и по 2 ребра в каждом измерении. Таким образом, общее количество кубиков на ребрах будет \(2 \cdot 12 = 24\).

4) Кубики на вершинах (имеющие три окрашенные грани): вершины параллелепипеда представляют собой точки пересечения трех измерений. У каждого измерения есть 2 вершины, поэтому общее количество вершин будет \(2^3 = 8\), что дает нам 8 кубиков на вершинах.

Итак, чтобы определить сколько кубиков имеют одну или две окрашенные грани, мы должны сложить количество кубиков соответствующих категорий: внутренние кубики, кубики на поверхности, кубики на ребрах.

Итоговая формула будет выглядеть так:

\[(n-2)^3 + 6n + 24\]

Теперь, если у вас конкретное значение для \(n\), вы можете подставить его в эту формулу, чтобы получить ответ на задачу.