1. How to convert the expression into a polynomial in standard form: a) (3x² - 6x - 5) - (2x² - 3x - 4); b) -4x²y (3x³

Александр

17

Конечно! Давайте решим ваши задачи в порядке, в котором они были представлены.

1. а) Чтобы преобразовать выражение в полином стандартного вида, распределим каждое слагаемое внутри скобок и выполним операции сложения и вычитания:
\[ (3x^2 - 6x - 5) - (2x^2 - 3x - 4) = 3x^2 - 6x - 5 - 2x^2 + 3x + 4 \]

Теперь объединим слагаемые с одинаковыми степенями переменной x:
\[ (3x^2 - 2x^2) + (-6x + 3x) + (-5 + 4) \]

Выполняя арифметические операции, получаем:
\[ x^2 - 3x - 1 \]

Таким образом, приведенное выражение можно записать в виде полинома стандартной формы: \( x^2 - 3x - 1 \).

1. б) Для преобразования данного выражения в полином стандартного вида, умножим каждое слагаемое в левой скобке на -4x²y:
\[ -4x^2y(3x^3 - 0.25xy^2 + \frac{11}{4}xy) \]

Теперь распределим каждое слагаемое внутри скобки и выполним операции умножения:
\[ -4x^2y \cdot 3x^3 + (-4x^2y) \cdot (-0.25xy^2) + (-4x^2y) \cdot \frac{11}{4}xy \]

\[ -12x^5y + x^3y^3 - \frac{11}{4}x^3y^2 \]

Полученное выражение - полином стандартной формы: \( -12x^5y + x^3y^3 - \frac{11}{4}x^3y^2 \).

1. в) Чтобы преобразовать это выражение в полином стандартной формы, используем метод раскрытия скобок:
\[ (x - 2)(2x + 3) \]

Применим дистрибутивность и выполним операции умножения:
\[ x \cdot 2x + x \cdot 3 - 2 \cdot 2x - 2 \cdot 3 \]

\[ 2x^2 + 3x - 4x - 6 \]

Приведем подобные слагаемые:
\[ 2x^2 - x - 6 \]

Полученное выражение - полином стандартной формы: \( 2x^2 - x - 6 \).

1. г) Чтобы преобразовать это выражение в полином стандартной формы, сначала умножим каждое слагаемое в первой скобке на \( y \), а затем распределим каждое слагаемое во второй скобке:
\[ (y + 2)(y^2 + y - 4) \]

Применяя дистрибутивность, получаем:
\[ y \cdot y^2 + y \cdot y - y \cdot 4 + 2 \cdot y^2 + 2 \cdot y - 2 \cdot 4 \]

\[ y^3 + y^2 - 4y + 2y^2 + 2y - 8 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:
\[ y^3 + 3y^2 - 2y - 8 \]

Полученное выражение - полином стандартной формы: \( y^3 + 3y^2 - 2y - 8 \).

2. а) Чтобы упростить это выражение, раскроем скобки и выполним операции умножения и сложения:
\[ 4m(3 + 5m) - 10m(6 + 2m) \]

\[ 12m + 20m^2 - 60m - 20m^2 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:
\[ 12m - 60m + 20m^2 - 20m^2 \]

\[ -48m \]

Таким образом, упрощенное выражение равно \( -48m \).

2. б) Для упрощения данного выражения, используем метод раскрытия скобок и выполним операции сложения и вычитания:
\[ 2a(3a - 5) - (a - 3)(a - 7) \]

\[ 6a^2 - 10a - (a \cdot a - a \cdot 7 - 3 \cdot a + 3 \cdot 7) \]

\[ 6a^2 - 10a - (a^2 - 7a - 3a + 21) \]

\[ 6a^2 - 10a - a^2 + 7a + 3a - 21 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:
\[ 5a^2 + 0a - 21 \]

Упрощенное выражение: \( 5a^2 - 21 \).

3. Для нахождения значения данного выражения, подставим значения переменных \( b = 5 \) и \( y = 0.3 \) в выражение:
\[ (3y - b)(3y + 2b) - (y - 2b)(9y + b) \]

Подставляем значения:
\[ (3\cdot0.3 - 5)(3\cdot0.3 + 2\cdot5) - (0.3 - 2\cdot5)(9\cdot0.3 + 5) \]

\[ (0.9 - 5)(0.9 + 10) - (-9.7)(2.7) \]

\[ (-4.1)(10.9) + 26.19 \]

\[ -44.69 + 26.19 \]

Выполняем операцию сложения:
\[ -18.5 \]

Таким образом, значение выражения при \( b = 5 \) и \( y = 0.3 \) равно \( -18.5 \).

4. а) Чтобы привести данное выражение в факторизованную форму, факторизуем общий множитель:
\[ 4ac - 2av + 10a^2 = 2a(2c - v + 5a) \]

Приведенное выражение можно записать в факторизованной форме: \( 2a(2c - v + 5a) \).

4. б) Для факторизации данного выражения, сгруппируем подобные слагаемые:
\[ c^7 - c^6 + c - 1 = c^6(c - 1) + (c - 1) \]

Факторизуем общий множитель:
\[ (c - 1)(c^6 + 1) \]

Таким образом, данное выражение может быть записано в факторизованной форме: \( (c - 1)(c^6 + 1) \).

4. в) Для факторизации данного выражения, сгруппируем подобные слагаемые:
\[ y^2 - 12y + 4y - 3xy = y(y - 12) + 4(y - 3x) \]

Приведем общие множители:
\[ y(y - 12) + 4(y - 3x) = y(y - 12) + 4(y - 3x) \]

Факторизованная форма данного выражения: \( y(y - 12) + 4(y - 3x) \).

4. г) Чтобы факторизовать данное выражение, раскроем скобку и сгруппируем подобные слагаемые:
\[ 2a(x - 3) - (x - 3)^2 \]

\[ 2a(x - 3) - (x^2 - 6x + 9) \]

Распределим знак "минус" во второй скобке:
\[ 2a(x - 3) - x^2 + 6x - 9 \]

Сгруппируем подобные слагаемые:
\[ -x^2 + 2ax + 6x - 9 \]

\[ -x^2 + (2a + 6)x - 9 \]

Итак, факторизованная форма данного выражения: \( -x^2 + (2a + 6)x - 9 \).

5. Чтобы решить данное уравнение, давайте восстановим недостающую часть уравнения.