Каково максимальное и минимальное значение функции y=-x^2+4x+2 на интервале

Антонович

63

Чтобы найти максимальное и минимальное значение функции \(y = -x^2 + 4x + 2\) на заданном интервале, мы должны использовать некоторые концепции из анализа функций. Давайте начнем с того, что определим вершину параболы, которая представляет данную функцию.

Функция \(y = -x^2 + 4x + 2\) является параболой, и вершина этой параболы имеет координаты \((h, k)\), где \(h\) - это значение \(x\)-координаты вершины, а \(k\) - это значение \(y\)-координаты вершины. Чтобы найти эти значения, мы можем использовать формулы:

\[h = - \frac{b}{2a}\]
\[k = c - \frac{b^2}{4a}\]

В данной функции, \(a = -1\), \(b = 4\), и \(c = 2\), поэтому подставляя эти значения в формулы, мы можем найти вершину параболы.

\[h = - \frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2\]
\[k = 2 - \frac{4^2}{4 \cdot (-1)} = 6\]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \((2, 6)\).

Теперь, чтобы найти максимальное или минимальное значение функции на заданном интервале, нам нужно понять, как парабола открывается и в какой части интервала она находится.

Учитывая отрицательный коэффициент при \(x^2\), парабола будет открыта вниз.

Интервал прокладывается от определенного \(x_1\) до определенного \(x_2\). Давайте найдем значения \(x_1\) и \(x_2\), когда парабола пересекает ось \(x\).

Для этого решим уравнение \(y = -x^2 + 4x + 2\), приравняв \(y\) к нулю:

\(-x^2 + 4x + 2 = 0\)

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставляя значения \(a = -1\), \(b = 4\), и \(c = 2\), мы получим:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2}}{2 \cdot (-1)}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{-2}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{-2}\]

\[x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{-2}\]

Мы можем упростить это еще больше, деля числитель и знаменатель на -2:

\[x = 2 \pm \sqrt{6}\]

Таким образом, парабола пересекает ось \(x\) в точках \(2 - \sqrt{6}\) и \(2 + \sqrt{6}\).

Теперь мы можем проанализировать поведение параболы в интервале между \(2 - \sqrt{6}\) и \(2 + \sqrt{6}\). Поскольку парабола открывается вниз и вершина находится выше оси \(x\), она будет иметь минимальное значение на интервале между \(2 - \sqrt{6}\) и \(2 + \sqrt{6}\). А так как в других областях она будет находиться ниже оси \(x\), то максимального значения на данном интервале нет.

Таким образом, минимальное значение функции \(y = -x^2 + 4x + 2\) на интервале между \(2 - \sqrt{6}\) и \(2 + \sqrt{6}\) равно значению функции в ее вершине: \(y = 6\) на \(x = 2\).

Обратите внимание, что максимальное и минимальное значения функции могут изменяться в зависимости от заданного интервала. В этом случае, на указанном интервале максимальное значение не существует.