1) Какие значения имеют а и d в арифметической прогрессии, у которой: а1 = 40, n = 20, S20 = -40? 2) Какие значения

Золотой_Вихрь

63

1) Для решения этой задачи, нам потребуются формулы для суммы арифметической прогрессии \(S_n\) и \(n\)-го члена прогрессии \(a_n\).

Формула для суммы арифметической прогрессии выглядит следующим образом:
\[S_n = \frac{n}{2}\left(2a_1 + (n-1)d\right)\]
где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии, \(a_1\) - первый член, \(d\) - разность прогрессии и \(n\) - количество членов.

Также, формула для нахождения \(n\)-го члена прогрессии выглядит так:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]

Теперь применим эти формулы к задаче:

Для первой задачи имеем, что \(a_1 = 40\), \(n = 20\) и \(S_{20} = -40\). Подставим значения в формулу для суммы:
\[-40 = \frac{20}{2}\left(2 \cdot 40 + (20-1)d\right)\]

Далее, решим это уравнение относительно \(d\):
\[-40 = 10(80 + 19d)\]
\[-40 = 800 + 190d\]
\[190d = -840\]
\[d = -\frac{840}{190}\]
\[d \approx -4.421\]

Теперь найдём значение \(a\) с помощью формулы для нахождения \(n\)-го члена прогрессии:
\[a_{20} = 40 + (20-1)\cdot(-4.421)\]
\[a_{20} \approx -82.42\]

Таким образом, значения \(a \approx -82.42\) и \(d \approx -4.421\) для данной арифметической прогрессии.

2) Для второй задачи имеем, что \(a_1 = \frac{1}{3}\), \(n = 16\) и \(S_{16} = -10 \frac{2}{3}\). Подставим значения в формулу для суммы:
\[-10\frac{2}{3} = \frac{16}{2}\left(2 \cdot \frac{1}{3} + (16-1)d\right)\]

Далее, решим это уравнение относительно \(d\):
\[-\frac{32}{3} = 8\left(\frac{2}{3} + 15d\right)\]
\[-\frac{32}{3} = \frac{16}{3} + 120d\]
\[120d = -\frac{32}{3} - \frac{16}{3}\]
\[120d = -\frac{48}{3}\]
\[d = -\frac{48}{3 \cdot 120}\]
\[d = -\frac{1}{30}\]

Теперь найдём значение \(a\) с помощью формулы для нахождения \(n\)-го члена прогрессии:
\[a_{16} = \frac{1}{3} + (16-1)\cdot\left(-\frac{1}{30}\right)\]
\[a_{16} \approx \frac{41}{30}\]

Таким образом, значения \(a \approx \frac{41}{30}\) и \(d = -\frac{1}{30}\) для данной арифметической прогрессии.

3) Для третьей задачи имеем, что \(a = -4\), \(n = 11\) и \(S_{11} = 231\). Подставим значения в формулу для суммы:
\[231 = \frac{11}{2}\left(2 \cdot (-4) + (11-1)d\right)\]

Далее, решим это уравнение относительно \(d\):
\[231 = \frac{11}{2}\left(-8 + 10d\right)\]
\[231 = \frac{11}{2}\cdot10d - 44\]
\[231 + 44 = 110d\]
\[275 = 110d\]
\[d = \frac{275}{110}\]
\[d = 2.5\]

Теперь найдём значение \(a\) с помощью формулы для нахождения \(n\)-го члена прогрессии:
\[a_{11} = -4 + (11-1) \cdot 2.5\]
\[a_{11} = -4 + 10 \cdot 2.5\]
\[a_{11} = -4 + 25\]
\[a_{11} = 21\]

Таким образом, значения \(a = 21\) и \(d = 2.5\) для данной арифметической прогрессии.