Яка є сума перших шести членів арифметичної послідовності (an), якщо a6 = 20 і b9 = 192?

Raduzhnyy_Sumrak

61

Для решения этой задачи нам необходимо найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии, где \(a_6 = 20\) и \(b_9 = 192\).

Арифметическая прогрессия имеет общую формулу для \(n\)-ого члена:

\[a_n = a_1 + (n-1)d,\]

где \(a_n\) - \(n\)-ый член последовательности, \(a_1\) - первый член последовательности, \(d\) - разность между соседними членами последовательности.

Чтобы найти сумму первых шести членов, нам нужно знать первый член и разность.

Используем данную информацию о двух различных членах последовательности для того, чтобы найти \(a_1\) и \(d\).

Исходя из информации, у нас есть:

\[a_6 = 20,\]
\[b_9 = 192.\]

Мы знаем, что \(a_6 = a_1 + 5d\), так как \(a_6\) - шестой член последовательности, а разность между соседними членами равна \(d\).

Также, мы знаем, что \(b_9 = a_1 + 8d\), так как \(b_9\) - девятый член последовательности.

Мы можем составить два уравнения:

\[
\begin{cases}
a_1 + 5d = 20 \\
a_1 + 8d = 192 \\
\end{cases}
\]

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения \(a_1\) и \(d\).

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от \(a_1\):

\[(a_1 + 8d) - (a_1 + 5d) = 192 - 20.\]

\(a_1\) сокращается, и у нас остается:

\[8d - 5d = 172.\]

Решив это уравнение, получим:

\[3d = 172,\]

\[d = \frac{172}{3}.\]

Теперь, используем найденное значение \(d\) и одно из начальных уравнений для получения значения \(a_1\):

\[a_1 + 5\left(\frac{172}{3}\right) = 20.\]

Упростим это уравнение:

\[a_1 + \frac{860}{3} = 20,\]

\[a_1 = 20 - \frac{860}{3},\]

\[a_1 = \frac{60}{3} - \frac{860}{3},\]

\[a_1 = \frac{-800}{3}.\]

Теперь, когда у нас есть значения \(a_1\) и \(d\), мы можем найти сумму первых шести членов арифметической последовательности:

\[S_6 = \frac{6}{2}(2a_1 + (6-1)d).\]

Подставим найденные значения:

\[S_6 = \frac{6}{2}(2\left(\frac{-800}{3}\right) + (6-1)\left(\frac{172}{3}\right)).\]

Вычислим эту сумму:

\[S_6 = 3(-\frac{800}{3} + \frac{5 \cdot 172}{3}).\]

Упростим выражение:

\[S_6 = 3(-\frac{800}{3} + \frac{860}{3}).\]

\[S_6 = 3 \cdot \frac{60}{3}.\]

\[S_6 = 60.\]

Итак, сумма первых шести членов арифметической последовательности равна 60.