1. Какое распределение можно использовать для моделирования случайной величины сумма очков при броске двух кубиков

Елизавета

36

1. Для моделирования случайной величины "сумма очков при броске двух кубиков" можно использовать распределение, называемое дискретным равномерным распределением. Это распределение подходит, так как каждый возможный исход (сумма очков) имеет одинаковую вероятность выпадения.

Для вычисления математического ожидания этой величины, нужно умножить каждое возможное значение суммы очков на его вероятность и сложить все результаты. В данном случае, у нас есть 11 возможных значений суммы очков (от 2 до 12). Давайте рассчитаем математическое ожидание.

Найдем вероятность для каждого возможного значения суммы очков. Зная, что на каждом кубике есть 6 граней, у которых написаны числа от 1 до 6, мы можем посчитать сколько комбинаций дают каждое значение суммы очков:

- Значение 2 можно получить только одной комбинацией (1 и 1)
- Значение 3 также можно получить одной комбинацией (1 и 2, или 2 и 1)
- Значение 4 можно получить двумя комбинациями (1 и 3, 2 и 2, или 3 и 1)
- И так далее...

Взглянем на следующую таблицу:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Сумма очков & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
Количество комбинаций & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь нам нужно вычислить вероятность для каждого значения суммы очков. Вероятность можно найти, разделив количество комбинаций для данного значения на общее количество возможных комбинаций, то есть на 36 (так как каждый кубик может иметь 6 различных значений). Обратимся к таблице:

\[
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Сумма очков & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
Вероятность & 1/36 & 2/36 & 3/36 & 4/36 & 5/36 & 6/36 & 5/36 & 4/36 & 3/36 & 2/36 & 1/36 \\
\hline
\end{tabular}
\]

Теперь мы можем вычислить математическое ожидание, сложив произведения каждого значения суммы очков на его вероятность:

\[
Математическое\ ожидание = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}
\]

После вычислений:

\[
Математическое\ ожидание = \frac{1}{36} \cdot (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)
\]

Таким образом, математическое ожидание суммы очков при броске двух кубиков равно:

\[
Математическое\ ожидание = \frac{1}{36} \cdot 252 = 7
\]

2. Чтобы определить, какое из двух событий более вероятно, "выпадение ровно 3 орлов при 5 бросках монеты" или "выпадение ровно 5 орлов при 7 бросках монеты", мы должны посчитать вероятность каждого из этих событий.

Давайте начнем с первого события. Вероятность выпадения ровно 3 орлов при 5 бросках монеты можно вычислить, используя биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности в данном случае выглядит следующим образом:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

Где \(P(X = k)\) - вероятность того, что произойдет событие именно k раз, \(n\) - общее количество испытаний (бросков монеты), \(k\) - количество успехов (выпадение орла), \(p\) - вероятность успеха (выпадение орла), \(q\) - вероятность неудачи (выпадение решки).

Для первого события, нам нужно найти вероятность выпадения орла 3 раза при 5 бросках монеты. Вероятность выпадения орла в одном броске монеты равна 0.5, так как есть два равновероятных исхода (орел или решка). Соответственно, \(p = 0.5\) и \(q = 0.5\).

Подставим значения в формулу:

\[
P(X = 3) = \binom{5}{3} \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^{5-3}
\]

Вычислим биномиальный коэффициент для \(\binom{5}{3}\):

\[
\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10
\]

Подставим в формулу и упростим:

\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^2
\]

\[
P(X = 3) = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25
\]

\[
P(X = 3) = 0.3125
\]

Таким образом, вероятность выпадения ровно 3 орлов при 5 бросках монеты составляет 0.3125.

Теперь рассмотрим второе событие - выпадение ровно 5 орлов при 7 бросках монеты. Используем ту же формулу:

\[
P(X = 5) = \binom{7}{5} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^{7-5}
\]

Вычислим биномиальный коэффициент для \(\binom{7}{5}\):

\[
\binom{7}{5} = \frac{7!}{5!(7-5)!} = 21
\]

Подставим в формулу и упростим:

\[
P(X = 5) = 21 \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^2
\]

\[
P(X = 5) = 21 \cdot 0.03125 \cdot 0.25
\]

\[
P(X = 5) = 0.1640625
\]

Таким образом, вероятность выпадения ровно 5 орлов при 7 бросках монеты составляет 0.1640625.

Сравнивая две вероятности, мы можем сделать вывод, что первое событие ("выпадение ровно 3 орлов при 5 бросках монеты") более вероятно, так как его вероятность равна 0.3125, в то время как вероятность второго события ("выпадение ровно 5 орлов при 7 бросках монеты") равна 0.1640625.