Какова площадь полной поверхности пирамиды, если известны значения стороны ab (равная 5√3) и угла acb (равный 150°)?

Solnechnyy_Bereg_7775

55

Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, вам понадобится использовать формулу площади треугольника и формулу площади поверхности пирамиды.

Первым шагом найдем высоту пирамиды. Для этого разобьем треугольник ABC (где A - вершина пирамиды, B и C - точки на основании треугольника) на два прямоугольных треугольника.

Мы знаем длину стороны ab, которая равна 5√3, и угол acb, который равен 150°. Зная, что в прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, мы можем найти длину высоты, обозначим ее как h.

\[ \sin(150°) = \frac{h}{5\sqrt{3}} \]

Так как угол 150° лежит во II четверти, то \(\sin(150°) = -\sin(30°)\). Подставляем значение синуса 30° заранее известного равного \(-\frac{1}{2}\) и решаем уравнение:

\[ -\frac{1}{2} = \frac{h}{5\sqrt{3}} \]

Домножаем обе стороны уравнения на \(5\sqrt{3}\) и получаем:

\[ -\frac{5\sqrt{3}}{2} = h \]

Таким образом, высота пирамиды равна \(-\frac{5\sqrt{3}}{2}\).

Затем, чтобы найти площадь поверхности основания пирамиды, нам нужно найти площадь треугольника ABC. Мы знаем, что треугольник ABC является равносторонним, потому что все его стороны равны между собой.

Из формулы площади равностороннего треугольника с длиной стороны a:

\[ S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \]

Подставляем значение длины стороны ab в формулу и находим площадь поверхности основания:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{75\sqrt{3}}{4} \]

Наконец, чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, мы должны сложить площадь поверхности основания и площадь боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

\[ S_{\text{боковой поверхности}} = \frac{P_{\text{основания}} \cdot h}{2} \]

Где \( P_{\text{основания}} \) - периметр основания пирамиды.

У нас есть значение высоты (-\frac{5\sqrt{3}}{2}) и длина каждой стороны основания (5√3), поскольку треугольник ABC равнобедренный.

\[ P_{\text{основания}} = 3 \cdot 5\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности:

\[ S_{\text{боковой поверхности}} = \frac{(15\sqrt{3}) \cdot \left(-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}{2} = -\frac{75\sqrt{3}}{4} \]

Итак, площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади поверхности основания и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{полная поверхность}} = \frac{75\sqrt{3}}{4} + \left(-\frac{75\sqrt{3}}{4}\right) = 0 \]

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна 0.