Сколько гномов может быть на уроке математики, чтобы каждый из них мог найти трехзначное число, которое, если прибавить
Сколько гномов может быть на уроке математики, чтобы каждый из них мог найти трехзначное число, которое, если прибавить к нему 198, будет представлено теми же цифрами, но в обратном порядке? Чтобы все найденные числа различались, каково максимальное количество гномов?
Львица_1352 45
Чтобы решить данную задачу, давайте последовательно выполним следующие шаги.1. Представим трехзначное число в общем виде: \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) – цифры числа.
2. Запишем число, образованное цифрами в обратном порядке: \(\overline{cba}\).
3. Прибавим к числу \(\overline{abc}\) число 198: \(\overline{abc} + 198\).
4. Сравним результат с числом \(\overline{cba}\): \(\overline{abc} + 198 = \overline{cba}\).
5. Вычислим значение левой и правой частей уравнения:
\[100a + 10b + c + 198 = 100c + 10b + a\].
6. Приведем подобные слагаемые и упростим уравнение:
\[99a - 99c = 198\].
7. Разделим обе части уравнения на 99:
\[a - c = 2\].
Таким образом, мы получили, что разность между цифрами единиц и сотен должна быть равна 2.
Теперь рассмотрим все возможные значения цифр, чтобы получить трехзначные числа, удовлетворяющие условию.
Одно из возможных решений – числа, состоящие из цифр 1 и 3 в различных комбинациях:
- 123 + 198 = 321
- 213 + 198 = 411
- 231 + 198 = 429
- 312 + 198 = 510
- 321 + 198 = 519
Мы видим, что максимальное количество гномов, которые могут найти трехзначное число, удовлетворяющее условию, равно 5.