1) Каков объём треугольной пирамиды KABC, если угол ACB равен 90°, длина линий AC и CB одинаковая, а AB равно

Лунный_Хомяк

51

Для каждой из трёх задач, чтобы найти объём треугольной пирамиды KABC, мы должны использовать формулу для объёма пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основания}} \cdot H,\]

где \(S_{\text{основания}}\) - площадь основания пирамиды, а \(H\) - высота пирамиды.

Задача 1:
У нас есть угол ACB равный 90° и длины линий AC и CB одинаковые, обозначим эту длину \(x\). Также дано, что AB равно 14n.

Первым шагом, для найдения площади основания пирамиды, мы должны рассчитать длину одной из сторон треугольника ABC. Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC, мы получаем:

\[AB^2 = AC^2 + CB^2\]
\[(14n)^2 = x^2 + x^2\]
\[196n^2 = 2x^2\]
\[x^2 = \frac{196n^2}{2}\]
\[x^2 = 98n^2\]
\[x = \sqrt{98}n\]
\[x = 7\sqrt{2}n\]

Теперь мы можем вычислить площадь основания пирамиды:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot (7\sqrt{2}n) \cdot (7\sqrt{2}n)\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 98n^2\]
\[S_{\text{основания}} = 49n^2\]

Осталось найти высоту пирамиды \(H\). Для этого можно использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABH (где H - вершина пирамиды, B - центр вписанной окружности, AB - радиус окружности, высота пирамиды):

\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]
\[(14n)^2 = AH^2 + (7n)^2\]
\[196n^2 = AH^2 + 49n^2\]
\[147n^2 = AH^2\]
\[AH = 7\sqrt{3}n\]

Теперь, подставляя значения \(S_{\text{основания}} = 49n^2\) и \(H = 7\sqrt{3}n\) в формулу для объёма пирамиды, мы найдём:

\[V = \frac{1}{3} \cdot (49n^2) \cdot (7\sqrt{3}n)\]
\[V = \frac{49}{3} \cdot n^3 \cdot \sqrt{3}\]

Итак, объём треугольной пирамиды KABC в задаче 1 равен \(\frac{49}{3} \cdot n^3 \cdot \sqrt{3}\).

Задача 2:
Задача 2 очень похожа на задачу 1, с единственным отличием - вершина пирамиды проецируется в точку пересечения медиан основания. Это означает, что высота пирамиды совпадает с высотой треугольника ABC, и равна \(\frac{2}{3}\) от высоты медианы треугольника ABC.

Мы уже нашли, что длина одной из сторон треугольника ABC равна \(x = 7\sqrt{2}n\). Теперь, чтобы найти длину медианы треугольника ABC, мы можем использовать формулу, которая связывает медиану с сторонами треугольника:

\[m = \frac{1}{2} \sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - стороны треугольника ABC. В нашем случае, \(a = b = x\), поэтому формула принимает вид:

\[m = \frac{1}{2} \sqrt{4x^2 - x^2}\]
\[m = \frac{1}{2} \sqrt{3x^2}\]
\[m = \frac{1}{2} \sqrt{3}x\]
\[m = \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 7\sqrt{2}n\]
\[m = 7\sqrt{6}n\]

Так как высота треугольника ABC равна \(\frac{2}{3}\) от длины медианы, то \(H = \frac{2}{3} \cdot 7\sqrt{6}n\).

Подставляя значения \(S_{\text{основания}} = 49n^2\) и \(H = \frac{2}{3} \cdot 7\sqrt{6}n\) в формулу для объёма пирамиды, мы получаем:

\[V = \frac{1}{3} \cdot (49n^2) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot 7\sqrt{6}n\right)\]
\[V = \frac{98}{9} \cdot n^3 \cdot \sqrt{6}\]

Итак, объём треугольной пирамиды KABC в задаче 2 равен \(\frac{98}{9} \cdot n^3 \cdot \sqrt{6}\).

Задача 3:
Задача 3 аналогична задаче 1, за исключением того, что вершина пирамиды не проецируется ни в центр вписанной окружности, ни в точку пересечения медиан основания. В этом случае, у нас нет данных о высоте пирамиды, и мы не можем рассчитать её объём точно.

Тем не менее, мы можем найти отношение объёма пирамиды к площади основания, имея в виду, что основание пирамиды - это прямоугольный треугольник ABC с катетами равными \(x = 7\sqrt{2}n\) и гипотенузой \(AB = 14n\).

Площадь прямоугольного треугольника \(S_{\text{основания}}\) можно найти с помощью формулы:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot (7\sqrt{2}n) \cdot (7\sqrt{2}n)\]
\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \cdot 98n^2\]
\[S_{\text{основания}} = 49n^2\]

Теперь, чтобы найти отношение объёма к площади основания, мы можем записать:

\(\frac{V}{S_{\text{основания}}}} = K\), где \(K\) - некоторая константа.

Подставляя значение \(S_{\text{основания}} = 49n^2\), мы можем записать:

\(\frac{V}{49n^2} = K\)

Таким образом, объём пирамиды KABC в задаче 3 равен \(49n^2 \cdot K\).

Итак, мы можем рассчитать объём пирамиды только в терминах некоторой константы \(K\), но не сможем выразить его точно без дополнительной информации о высоте пирамиды.