1. Какова длина перпендикуляра, если длина наклонной равна 5 см и длина ее проекции равна 3 см? 2. Если длина

Zvezdnyy_Pyl

29

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора. По теореме Пифагора, квадрат длины гипотенузы (в нашем случае, длина наклонной) равен сумме квадратов двух катетов (в нашем случае, длины проекции и искомой длины перпендикуляра).

По условию задачи, длина наклонной равна 5 см, а длина ее проекции равна 3 см. Пусть длина перпендикуляра равна \(x\) см.

Используя теорему Пифагора, получаем уравнение:

\[5^2 = 3^2 + x^2\]

Вычисляем:

\[25 = 9 + x^2\]

Вычитаем 9 из обеих сторон уравнения:

\[x^2 = 16\]

Извлекаем квадратный корень для получения значения длины перпендикуляра:

\[x = \sqrt{16} = 4\]

Таким образом, длина перпендикуляра равна 4 см.

2. В данном случае, нам даны длина перпендикуляра (1 см) и угол между наклонной и перпендикуляром (45°). Мы должны найти длину проекции наклонной.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию синус для решения этой задачи. Синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

По определению синуса, синус угла 45° будет равен отношению длины перпендикуляра к длине наклонной:

\[\sin(45°) = \frac{\text{длина перпендикуляра}}{\text{длина наклонной проекции}}\]

Подставляем известные значения:

\[\sin(45°) = \frac{1}{\text{длина наклонной проекции}}\]

Так как синус 45° равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), то уравнение принимает следующий вид:

\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\text{длина наклонной проекции}}\]

Мы можем найти длину наклонной проекции, перемножив обе стороны уравнения на 1:

\[\text{длина наклонной проекции} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\]

Таким образом, длина наклонной проекции равна \(\sqrt{2}\) см.

3. В данном случае, нам дан угол между наклонной и перпендикуляром (30°), а также известна длина наклонной проекции. Мы должны найти длину наклонной.

Мы можем использовать тригонометрическую функцию косинус для решения этой задачи. Косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

По определению косинуса, косинус угла 30° будет равен отношению длины наклонной проекции к длине наклонной:

\[\cos(30°) = \frac{\text{длина наклонной проекции}}{\text{длина наклонной}}\]

Подставляем известные значения:

\[\cos(30°) = \frac{\text{длина наклонной проекции}}{\text{длина наклонной}}\]

Так как косинус 30° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\), то уравнение принимает следующий вид:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{длина наклонной проекции}}{\text{длина наклонной}}\]

Мы можем найти длину наклонной, перемножив обе стороны уравнения на \(\text{длину наклонной}\):

\[\frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{длина наклонной} = \text{длина наклонной проекции}\]

Делим обе стороны уравнения на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\text{длина наклонной} = \frac{\text{длина наклонной проекции}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \text{длина наклонной проекции}\]

Мы можем сократить \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) до \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\), поэтому окончательное решение будет иметь вид:

\[\text{длина наклонной} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \times \text{длина наклонной проекции}\]

Таким образом, длина наклонной будет равна \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) раз длине наклонной проекции.