1. Какова сумма всех натуральных чисел, которые делятся на 9 и не больше чем 170*2? 2. Как можно записать периодическую

Чудесный_Король

38

Задача 1. Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 9 и не больше, чем 170 * 2, нужно определить, какие числа удовлетворяют условию, просуммировать их и дать окончательный ответ.

Натуральные числа, которые делятся на 9, являются числами, сумма цифр которых также делится на 9.
Для того чтобы найти все такие числа, возьмем наибольшее число, которое не превышает 170*2, а именно 340. Из него выделяем те, сумма цифр которых делится на 9: 9, 18, 27, ..., 333.

Чтобы найти количество таких чисел, разделим наше наибольшее число (340) на 9: 340/9 = 37, с остатком 7. Отбрасываем остаток и берем только целую часть (37).

Теперь найдем сумму арифметической прогрессии с первым членом 9, последним членом 333 и шагом 9. Используем формулу суммы арифметической прогрессии для этого:

\[S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]
где S - сумма прогрессии, n - количество членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

Подставим значения в формулу:
\[S = \frac{37}{2}(9 + 333)\]
\[S = 18 \cdot 342\]
\[S = 6156\]

Итак, сумма всех натуральных чисел, которые делятся на 9 и не больше 170*2, равна 6156.

Задача 2. Чтобы записать периодическую десятичную дробь \(0,41(6)\) в виде обычной дроби, нужно найти значение самой дроби и затем его представить в виде обычной дроби.

Обозначим периодическую десятичную дробь \(0,41(6)\) как \(x\). Тогда, умножив обе части на 100, мы получим:
\[100x = 41,(6)\]

Теперь просуммируем последние две строки, чтобы избавиться от повторяющегося блока чисел:
\[100x = 41 + 0,(6)\]

Обратим внимание, что десятичная дробь после запятой составлена из повторения цифры 6.
Чтобы избавиться от этой периодичности, мы умножим уравнение на 10:
\[1000x = 410 + 6,(6)\]

Теперь вычтем из этого уравнения первое уравнение:
\[900x = 1000x - 100x = 410\]

Разделим обе части на 900:
\[x = \frac{410}{900}\]

Упростим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 10:
\[x = \frac{41}{90}\]

Таким образом, периодическая десятичная дробь \(0,41(6)\) записывается в виде обычной дроби \(\frac{41}{90}\).

Задача 3. Для решения этой задачи нам нужно найти 15-ый член геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на фиксированное число, называемое знаменателем. В данном случае первый член равен 2, а знаменатель равен 3.

Чтобы найти 15-ый член, мы можем воспользоваться формулой общего члена геометрической прогрессии:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии, \(n\) - номер члена прогрессии.

Подставим значения в формулу:
\[a_{15} = 2 \cdot 3^{(15-1)}\]
\[a_{15} = 2 \cdot 3^{14}\]

Возводим 3 в степень 14:
\[a_{15} = 2 \cdot 4782969\]

Получаем:
\[a_{15} = 9565938\]

Таким образом, последняя цифра в 15-м члене геометрической прогрессии равна 8.