1. Найдите домен и область значений функции y=2sinx cosx. Найдите домен и область значений функции y=2ctg(x+п/2

Cherepaha

24

Хорошо, давайте разберемся с каждым вопросом по порядку:

1. Для функции \(y = 2\sin(x)\cos(x)\) найдем домен и область значений.

Домен - это множество всех возможных значений аргумента функции. Так как функция содержит тригонометрические функции \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\), домен будет определяться доменами этих функций. Область значений же - это множество всех возможных значений функции.

Для \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) доменом является весь действительный числовой промежуток \((-\infty, \infty)\), так как эти функции определены для любого значения угла.

Теперь найдем домен и область значений для функции \(y = 2\sin(x)\cos(x)\). Так как умножение двух функций не влияет на домен, домен этой функции также будет \((-\infty, \infty)\). Чтобы найти область значений, рассмотрим, что находится внутри функции умножения - \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\). Область значений для каждой из этих функций лежит в отрезке \([-1,1]\). Значит, функция \(y = 2\sin(x)\cos(x)\) будет принимать значения в промежутке \([-2,2]\).

Для функции \(y = 2\cot(x + \frac{\pi}{2})\) ситуация схожая. Домен \(\cot(x + \frac{\pi}{2})\) будет определяться доменом функции \(\cot(x)\), а область значений - областью значений функции \(\cot(x + \frac{\pi}{2})\).

Функция \(\cot(x)\) имеет домен \((-\infty, \infty)\), так как \(\cot(x)\) определен для любого значения угла, за исключением целых кратных \(\pi\).

Функция \(\cot(x + \frac{\pi}{2})\) является сдвигом функции \(\cot(x)\) на \(-\frac{\pi}{2}\), поэтому ее доменом будет \((-\infty, \infty)\).

Область значений функции \(\cot(x)\) состоит из всех вещественных чисел, кроме нуля. Таким образом, область значений функции \(y = 2\cot(x + \frac{\pi}{2})\) будет \((-\infty, \infty)\), кроме \(0\).

2. Теперь рассмотрим функции \(y=(2x^2 + \cos(x))\cos(x)\) и \(y= x \cot(x)\) и выясним, являются ли они четными или нечетными.

Четная функция - это функция, которая симметрична относительно оси ординат. Это означает, что если для функции \(f(x)\) выполняется \(f(-x) = f(x)\), то она является четной.

Нечетная функция - это функция, которая симметрична относительно начала координат. Это означает, что если для функции \(f(x)\) выполняется \(f(-x) = -f(x)\), то она является нечетной.

Проверим каждую функцию по этим критериям:

Для функции \(y=(2x^2 + \cos(x))\cos(x)\) возьмем оба случая \(f(-x)\) и \(f(x)\):

\(f(-x) = (2(-x)^2 + \cos(-x))\cos(-x) = (2x^2 + \cos(x))\cos(x) = f(x)\)

Значит, функция \(y=(2x^2 + \cos(x))\cos(x)\) является четной.

Для функции \(y= x \cot(x)\) возьмем оба случая \(f(-x)\) и \(f(x)\):

\(f(-x) = -x \cot(-x) = -x \cot(x) = -f(x)\)

Значит, функция \(y= x \cot(x)\) является нечетной.

3. Чтобы доказать, что функция \(y=\sin(2x)\) является периодической и найти наименьший положительный период, нужно выполнить два шага:

Шаг 1: Доказательство периодичности.
Для того, чтобы доказать, что функция периодическая, нужно показать, что \(f(x + T) = f(x)\) для некоторого положительного значения \(T\). В нашем случае, функция \(y=\sin(2x)\) будет периодичной, если существует такое положительное число \(T\), что \(\sin(2(x+T)) = \sin(2x)\).

Используя тригонометрическую формулу двойного угла \(\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)\), получим:
\(\sin(2(x+T)) = 2\sin(x+T)\cos(x+T) = 2(\sin(x)\cos(T) + \cos(x)\sin(T)) = \sin(2x)\cos(T) + \cos(2x)\sin(T)\)

Из этого выражения следует, что для \(\sin(2x)\) быть периодической, необходимо, чтобы \(\sin(2x)\cos(T) + \cos(2x)\sin(T)\) равнялось \(\sin(2x)\) для любых значений \(x\). Значит, \(\cos(T) = 1\) и \(\sin(T) = 0\).

Таким образом, получаем, что наименьшее положительное значение \(T\), при котором функция \(y=\sin(2x)\) является периодической, равно \(T = \pi\).

Шаг 2: Нахождение наименьшего положительного периода.
Мы уже знаем, что функция \(y=\sin(2x)\) периодична с периодом \(T = \pi\). Теперь нужно найти наименьшее положительное значение \(T\), для которого \(f(x+T) = f(x)\) для всех значений \(x\).

В данном случае, наименьший положительный период функции будет сам \(T = \pi\), так как это наименьшее число, при котором \(\sin(2(x+\pi)) = \sin(2x)\) для любого \(x\).

4. Чтобы найти все корни уравнения \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\), принадлежащие отрезку \(-2.5\pi\) до \(0.5\pi\), нужно решить это уравнение и проверить, находятся ли корни в указанном интервале.

Решим уравнение \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\):

\(\sin(x) = -\frac{1}{2}\)

Из таблицы значений синуса можно увидеть, что \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\) при \(x = -\frac{\pi}{6}\) и \(x = -\frac{5\pi}{6}\).

Теперь нужно проверить, находятся ли эти значения в указанном интервале \([-2.5\pi, 0.5\pi]\).

Подставим значения \(x = -\frac{\pi}{6}\) и \(x = -\frac{5\pi}{6}\) в интервал:

Для \(x = -\frac{\pi}{6}\): \(-2.5\pi \leq -\frac{\pi}{6} \leq 0.5\pi\) - условие выполняется.

Для \(x = -\frac{5\pi}{6}\): \(-2.5\pi \leq -\frac{5\pi}{6} \leq 0.5\pi\) - условие выполняется.

Таким образом, все корни уравнения \(\sin(x) = -\frac{1}{2}\), принадлежащие отрезку \([-2.5\pi, 0.5\pi]\), равны \(x = -\frac{\pi}{6}\) и \(x = -\frac{5\pi}{6}\).

5. Чтобы найти все решения неравенства \(\tan(x) \geq -2\) на интервале \([-2\pi, 0]\), нужно решить это неравенство и проверить, находятся ли решения в указанном интервале.

Решим неравенство \(\tan(x) \geq -2\):

Из таблицы значений тангенса можно увидеть, что \(\tan(x) \geq -2\) при \(x \leq -\frac{7\pi}{4}\) и \(x \geq -\frac{3\pi}{4}\).

Теперь нужно проверить, находятся ли эти значения в указанном интервале \([-2\pi, 0]\).

Подставим значения \(x = -\frac{7\pi}{4}\) и \(x = -\frac{3\pi}{4}\) в интервал:

Для \(x = -\frac{7\pi}{4}\): \(-2\pi \leq -\frac{7\pi}{4} \leq 0\) - условие выполняется.

Для \(x = -\frac{3\pi}{4}\): \(-2\pi \leq -\frac{3\pi}{4} \leq 0\) - условие выполняется.

Таким образом, все решения неравенства \(\tan(x) \geq -2\) на интервале \([-2\pi, 0]\) будут \(x \leq -\frac{7\pi}{4}\) и \(x \geq -\frac{3\pi}{4}\).