1) Какой будет закон распределения количества деталей каждого сорта (i=1,2,3), выбранных случайным образом из ящика

Vechnaya_Zima

48

1) Задача требует найти закон распределения количества деталей каждого сорта, выбранных случайным образом из ящика. Для этого нам понадобится знать, сколько деталей каждого сорта содержится в ящике. В данном случае, ящик содержит 6 деталей первого сорта, 4 детали второго сорта и 1 деталь третьего сорта.

Перейдем к поиску закона распределения. Пусть случайная величина \(X_i\) обозначает количество деталей сорта i. В нашем случае i может быть 1, 2 или 3. Для каждого i мы будем находить вероятность \(P(X_i = k)\), где k - количество деталей сорта i.

Так как детали выбираются случайным образом, то мы можем предположить, что выбор каждой детали независим от предыдущих. Также, вероятность выбора каждого сорта пропорциональна количеству деталей этого сорта в ящике.

Поскольку деталей первого сорта в ящике 6, из 11 (сумма всех деталей), вероятность выбора детали первого сорта равна \(P(X_1 = 1) = \frac{6}{11}\). Вероятность выбора деталей второго сорта равна \(P(X_2 = 1) = \frac{4}{11}\), так как их 4 из 11. Третий тип деталей только 1, так что \(P(X_3 = 1) = \frac{1}{11}\).

Таким образом, закон распределения количества деталей каждого сорта будет следующим:
\(P(X_1 = 1) = \frac{6}{11}\),
\(P(X_2 = 1) = \frac{4}{11}\),
\(P(X_3 = 1) = \frac{1}{11}\).

2) Теперь мы построим функцию распределения и нарисуем график для распределения количества деталей каждого сорта, выбранных случайным образом из ящика.

Функция распределения \(F(x)\) определяется как вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее или равное x. То есть, \(F(x) = P(X \leq x)\).

Для нашей задачи, можно выразить функцию распределения следующим образом:

\[
F(x) =
\begin{cases}
0, & \text{если } x < 1 \\
\frac{6}{11}, & \text{если } 1 \leq x < 2 \\
\frac{6+4}{11}, & \text{если } 2 \leq x < 3 \\
1, & \text{если } x \geq 3
\end{cases}
\]

График функции распределения будет выглядеть следующим образом:

\[
\begin{array}{c|c}
x & F(x) \\
\hline
0 & 0 \\
1 & \frac{6}{11} \\
2 & \frac{10}{11} \\
3 & 1 \\
\end{array}
\]

3) Теперь вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины, представляющей количество деталей каждого сорта, выбранных случайным образом из ящика.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины \(X\) вычисляется как взвешенная сумма всех возможных значений, где весом является вероятность каждого значения. В нашем случае:

\[
E(X) = 1 \cdot P(X_1 = 1) + 2 \cdot P(X_2 = 1) + 3 \cdot P(X_3 = 1)
\]

\[
E(X) = 1 \cdot \frac{6}{11} + 2 \cdot \frac{4}{11} + 3 \cdot \frac{1}{11}
\]

Таким образом, математическое ожидание равно:

\[
E(X) = \frac{13}{11} \approx 1.18
\]

Дисперсия случайной величины \(X\) вычисляется как средний квадрат разности между каждым значением и математическим ожиданием, умноженный на соответствующую вероятность, взятый по всем возможным значениям.

\[
Var(X) = (1 - E(X))^2 \cdot P(X_1 = 1) + (2 - E(X))^2 \cdot P(X_2 = 1) + (3 - E(X))^2 \cdot P(X_3 = 1)
\]

\[
Var(X) = (1 - \frac{13}{11})^2 \cdot \frac{6}{11} + (2 - \frac{13}{11})^2 \cdot \frac{4}{11} + (3 - \frac{13}{11})^2 \cdot \frac{1}{11}
\]

Таким образом, дисперсия равна:

\[
Var(X) \approx 0.38
\]

Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) равно квадратному корню из дисперсии:

\[
\sigma(X) \approx \sqrt{Var(X)} \approx \sqrt{0.38} \approx 0.62
\]

4) Наконец, чтобы вычислить вероятность того, что количество деталей каждого сорта, выбранных случайным образом из ящика, будет равно определенному числу, мы можем использовать закон распределения, который мы определили ранее. Например, вероятность \(P(X_1 = 2, X_2 = 1, X_3 = 0)\) будет равна произведению вероятностей каждой случайной величины:

\[
P(X_1 = 2, X_2 = 1, X_3 = 0) = P(X_1 = 2) \cdot P(X_2 = 1) \cdot P(X_3 = 0)
\]

\[
P(X_1 = 2, X_2 = 1, X_3 = 0) = \frac{6}{11} \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{10}{11}
\]

Таким образом, вероятность равна:

\[
P(X_1 = 2, X_2 = 1, X_3 = 0) \approx 0.167
\]