1) Какой диапазон электромагнитных колебаний соответствует максимальной частоте колебаний атомов кристаллической

Magiya_Reki

32

Для решения этой задачи нам понадобится использовать уравнение Пуассона в сферических координатах:

\[
\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}
\]

где \(\nabla^2\) - оператор Лапласа, \(\phi\) - потенциал, \(\rho\) - плотность заряда, \(\varepsilon_0\) - электрическая постоянная.

В задаче речь идет о кристаллической решетке свинца, поэтому мы можем считать, что у нас есть ионы свинца, заряженные положительно. Поэтому плотность заряда будет равна нулю, т.к. положительные ионы свинца компенсируются отрицательно заряженными электронами.

Таким образом, уравнение Пуассона примет вид:

\[
\nabla^2 \phi = 0
\]

Решение этого уравнения представляет собой сферически симметричное поле. Известно, что данное поле можно представить в виде суммы сферических гармоник:

\[
\phi(r,\theta,\varphi) = \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l} (A_l r^l + \frac{B_l}{r^{l+1}}) Y_l^m(\theta,\varphi)
\]

где \(r\) - расстояние от точки до центра симметрии, \(\theta\) - угол между осью \(z\) и радиус-вектором, \(\varphi\) - угол между осью \(x\) и проекцией радиус-вектора на плоскость \(xy\), \(A_l\) и \(B_l\) - коэффициенты, определяемые граничными условиями, \(Y_l^m(\theta,\varphi)\) - сферические функции.

Теперь мы можем перейти к решению данной задачи. По условию, нам известно, что максимальная частота колебаний атомов кристаллической решетки свинца соответствует характеристической температуре 90 К.

При данной температуре атомы кристаллической решетки максимально возбуждены и колеблются с наибольшей амплитудой. В колебаниях атомов решетки происходит переход между энергетическими уровнями. Вспомнив определение частоты колебаний \(f\) (\(f = \frac{1}{T}\), где \(T\) - период колебания), можем сказать, что максимальная частота колебаний атомов решетки будет соответствовать минимальному периоду колебаний, т.е. максимальной скорости перехода между энергетическими уровнями.

Таким образом, нам нужно найти минимальное значение энергии \(E_{\text{min}}\) и перевести его в частотную характеристику. Для этого у нас будет использовать соотношение энергии \(E_{\text{min}}\) с частотой колебаний \(f\):

\[
E_{\text{min}} = \hbar \omega
\]

где \(\hbar\) - постоянная Планка, \(\omega\) - угловая частота.

Для нахождения значения энергии \(E_{\text{min}}\) воспользуемся известной формулой Больцмана:

\[
E = k T
\]

где \(k\) - постоянная Больцмана, \(T\) - абсолютная температура.

Тогда формула для энергии подставится в:

\[
k T = \hbar \omega
\]

Теперь можем выразить угловую частоту:

\[
\omega = \frac{k T}{\hbar}
\]

Обратим внимание, что угловая частота \(\omega\) связана со скоростью перехода между энергетическими уровнями.

Используя формулу для угловой частоты, можем найти минимальное значение частоты \(f_{\text{min}}\):

\[
f_{\text{min}} = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{k T}{2\pi \hbar}
\]

Теперь, когда у нас есть формула для минимальной частоты \(f_{\text{min}}\), мы можем перейти к нахождению диапазона значений частот электромагнитных колебаний.

Для начала, найдем численное значение постоянной Больцмана \(k\):

\[ k = 1,38 \cdot 10^{-23} \, \text{Дж/К} \]

Также, у нас есть значение планковской постоянной \(\hbar\):

\[ \hbar = 6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с} \]

Подставим значение характеристической температуры \(T = 90 \, \text{К}\) в формулу для \(f_{\text{min}}\):

\[
f_{\text{min}} = \frac{k \cdot T}{2\pi \cdot \hbar}
\]

Вычислим \(f_{\text{min}}\) и получим диапазон значений электромагнитных колебаний:

\[
f_{\text{min}} = \frac{(1,38 \cdot 10^{-23} \, \text{Дж/К}) \cdot (90 \, \text{К})}{2\pi \cdot (6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Дж} \cdot \text{с})}
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
f_{\text{min}} \approx 1,18 \cdot 10^{13} \, \text{Гц}
\]

Таким образом, минимальная частота электромагнитных колебаний атомов кристаллической решетки свинца при характеристической температуре 90 К составляет приблизительно \(1,18 \cdot 10^{13}\) Гц.

Однако задача требует найти диапазон значений частот, а не одно минимальное значение. Чтобы найти максимальное значение частоты, мы можем использовать формулу \(f_{\text{max}} = 2f_{\text{min}}\). Подставляя значение \(f_{\text{min}}\) в эту формулу, мы получим:

\[
f_{\text{max}} = 2 \cdot 1,18 \cdot 10^{13} \, \text{Гц} = 2,36 \cdot 10^{13} \, \text{Гц}
\]

Следовательно, диапазон значений электромагнитных колебаний, соответствующий максимальной частоте колебаний атомов кристаллической решетки свинца при характеристической температуре 90 К, составляет от \(1,18 \cdot 10^{13}\) Гц до \(1,88 \cdot 10^{12}\) Гц.