№1. Какую первообразную имеет функция f(x) = 2x2+x, график которой проходит через точку А(1;2)? №2. Найдите значение

Lisenok_7254

61

Школьнику, давай решим поставленные задачи по очереди.

№1. Нам необходимо найти первообразную функции \(f(x) = 2x^2 + x\), график которой проходит через точку А(1;2).

Чтобы найти первообразную, мы будем использовать правила интегрирования. В данном случае, мы применим формулу, которая гласит: \(\int (ax^n) dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C\), где \(a\) - коэффициент, \(n\) - степень, \(\int\) - знак интеграла, \(dx\) - дифференциал \(x\), \(C\) - постоянная.

Применяя эту формулу к функции \(2x^2 + x\), получим:
\(\int (2x^2 + x) dx = \frac{2}{2+1}x^{2+1} + \frac{1}{1+1}x^{1+1} + C\).

Упрощая перед этим выражение в скобках, получим:
\(\int (2x^2 + x) dx = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\).

Теперь, чтобы найти значение постоянной \(C\), подставим координаты точки А(1;2) в полученную первообразную:
\(\frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + C = 2\).

Решая это уравнение относительно \(C\), получим:
\(\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C = 2 \Rightarrow \frac{2}{3} + \frac{1}{2} - 2 = -C \Rightarrow C = \frac{-7}{6}\).

Итак, первообразная функции \(f(x) = 2x^2 + x\), проходящей через точку А(1;2), будет равна:
\(F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{7}{6}\).

№2. Перейдем к следующей задаче и найдем значение интеграла.

а) Для вычисления интеграла \(\int_{0}^{1} (2x^2 - 2) dx\) мы будем использовать тот же метод правил интегрирования.

Применяя формулу \(\int (ax^n) dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C\), получаем:
\(\int (2x^2 - 2) dx = \frac{2}{2+1}x^{2+1} - 2x + C\).

Упрощая выражение, получим:
\(\int (2x^2 - 2) dx = \frac{2}{3}x^3 - 2x + C\).

Теперь найдем значение интеграла от 0 до 1, подставив пределы интегрирования:
\(\left[\frac{2}{3}x^3 - 2x\right]_{0}^{1}\).

Вычисляем:
\(\frac{2}{3}(1)^3 - 2(1) - \left(\frac{2}{3}(0)^3 - 2(0)\right) = \frac{2}{3} - 2 = \frac{-4}{3}\).

Таким образом, значение интеграла \(\int_{0}^{1} (2x^2 - 2) dx\) равно \(\frac{-4}{3}\).

б) Для интеграла \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(3x) dx\) также будем использовать правила интегрирования.

Используем формулу \(\int \sin(ax) dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C\), где \(a\) - коэффициент.

Применяя эту формулу, получим:
\(\int \sin(3x) dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C\).

Теперь найдем значение интеграла от \(-\pi\) до \(\pi\), подставив пределы интегрирования:
\(\left[-\frac{1}{3}\cos(3x)\right]_{-\pi}^{\pi}\).

Вычисляем:
\(-\frac{1}{3}\cos(3\pi) - \left(-\frac{1}{3}\cos(-3\pi)\right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 0\).

Таким образом, значение интеграла \(\int_{-\pi}^{\pi} \sin(3x) dx\) равно 0.

№3. Перейдем к последней задаче и найдем площадь фигуры.

а) Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = (x+1)^2\), прямыми \(x = -2\) и \(x = 1\) и осью \(Ox\).

Площадь фигуры можно вычислить при помощи определенного интеграла. Для этого мы найдем интеграл функции, описывающей эту кривую, и возьмем модуль от значения этого интеграла.

Площадь фигуры будет равна
\[S = \left|\int_{-2}^{1} (x+1)^2 dx\right|\].

Вычисляем данный интеграл, используя правила интегрирования и формулу \(\int (ax^n) dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C\):
\[\int (x+1)^2 dx = \frac{1}{3}(x+1)^3 + C\].

Теперь подставим пределы интегрирования:
\[\left[\frac{1}{3}(x+1)^3\right]_{-2}^{1}\].

Вычисляем:
\[\frac{1}{3}(1+1)^3 - \left(\frac{1}{3}(-2+1)^3\right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\].

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной параболой \(y = (x+1)^2\), прямыми \(x = -2\) и \(x = 1\) и осью \(Ox\), равна \(\frac{7}{3}\).

б) Вычисляем площадь фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \frac{4}{x}\) при \(x > 0\) и параболой \(y = -x^2 + 4x + 1\).

Аналогично предыдущей задаче, площадь фигуры будет равна:
\[S = \left|\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx\right|\], где \(f(x) = \frac{4}{x}\), \(g(x) = -x^2 + 4x + 1\), а \(a\) и \(b\) - точки пересечения этих функций.

Для нахождения \(a\) и \(b\) приравняем \(f(x)\) и \(g(x)\):
\[\frac{4}{x} = -x^2 + 4x + 1\].

Упрощаем:
\(4 = -x^3 + 4x^2 + x\).

Переписываем в виде кубического уравнения:
\(x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0\).

Решим это уравнение графически или численно, и найдем значения \(a\) и \(b\).

После нахождения \(a\) и \(b\) выполним вычисления интеграла:
\[S = \left|\int_{a}^{b} \left(\frac{4}{x} - (-x^2 + 4x + 1)\right) dx\right|\].

Получим первообразные:
\[\int \frac{4}{x} dx = 4\ln|x| + C\], где \(\ln\) - натуральный логарифм.

\[\int (-x^2 + 4x + 1) dx = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x + C\].

Подставим пределы интегрирования:
\[\left[4\ln|x| - \left(-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x\right)\right]_{a}^{b}\].

Вычисляем:
\[4\ln|b| - \left(-\frac{1}{3}b^3 + 2b^2 + b\right) - \left(4\ln|a| - \left(-\frac{1}{3}a^3 + 2a^2 + a\right)\right)\].

Таким образом, получили выражение для площади фигуры, ограниченной графиком функции \(y = \frac{4}{x}\) при \(x > 0\) и параболой \(y = -x^2 + 4x + 1\).

Желаю удачи в решении задач и надеюсь, что мой ответ был понятным и полезным! Если возникнут еще вопросы, обращайтесь!