Знайдіть значення a1 та r геометричної прогресії (an) заснованої на послідовності

Yak

51

Щоб знайти значення першого члена \(a_1\) та знаменника \(r\) геометричної прогресії, будемо використовувати властивості цієї прогресії.

Перша властивість геометричної прогресії говорить, що кожен наступний член прогресії \(a_n\) можна отримати, помноживши попередній член \(a_{n-1}\) на знаменник \(r\).

Отже, ми можемо записати вид прогресії наступним чином:

\[a_1, a_1 \cdot r, a_1 \cdot r^2, a_1 \cdot r^3, \ldots\]

Друга властивість геометричної прогресії стверджує, що кожен член прогресії можна отримати, підносячи знаменник до степеня, який на один менший за його порядковий номер в прогресії:

\[a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\]

Тепер ми можемо визначити значення першого члена \(a_1\) і знаменника \(r\) з відомими членами прогресії.

Для цього нам потрібно мати відомі значення якого-небудь двох членів прогресії. Зазвичай це будуть перший член \(a_1\) та \(n\)-тий член \(a_n\), але в цій задачі ми маємо відомі значення порядкового номеру члена прогресії \(n\) та \(n-1\)-го члена \(a_{n-1}\).

Ми можемо записати наступне співвідношення, використовуючи властивість геометричної прогресії:

\[a_n = a_{n-1} \cdot r\]

Підставивши в це співвідношення відомі значення, отримаємо:

\[a_1 \cdot r^n = a_1 \cdot r^{n-1} \cdot r\]

Скасовуючи \(a_1\) та \(r^{n-1}\) з обох боків рівності, отримаємо:

\[r^n = r^{n-1} \cdot r\]

Це рівняння можна спростити, розділивши обидві його частини на \(r^{n-1}\). Отримаємо:

\[r = 1\]

Це означає, що знаменник геометричної прогресії дорівнює 1.

Тепер ми можемо використовувати інше відоме нам значення, наприклад, \(n-1\)-й член \(a_{n-1}\). Підставляючи це значення в співвідношення геометричної прогресії, отримаємо:

\[a_n = a_{n-1} \cdot r\]

\[a_{n-1} \cdot 1 = a_{n-1}\]

Отже, знаменник геометричної прогресії \(r\) дорівнює 1, і всі члени прогресії будуть однаковими.

Таким чином, виходячи з наданої інформації з задачі, ми не можемо точно визначити значення першого члена \(a_1\) та знаменника \(r\) геометричної прогресії.