1) Какую работу совершает идеальный одноатомный газ, когда изотермически расширяется обратимо от давления 1,5

Ivanovna

31

Для решения данных задач необходимо использовать закон Бойля-Мариотта для идеального газа, а также уравнение состояния идеального газа.

1) Известно, что работа газа в системе равна площади под кривой на графике \( P-V \). По условию, газ изотермически расширяется обратимо, что означает, что его температура остается постоянной. Также заданы начальное давление \( P_1 = 1.5 \, \text{МПа} \), конечное давление \( P_2 = 100 \, \text{кПа} \), постоянная температура \( T = 300 \, \text{K} \).

С помощью уравнения состояния идеального газа \( P \cdot V = n \cdot R \cdot T \), где \( P \) - давление, \( V \) - объём, \( n \) - количество вещества газа, \( R \) - универсальная газовая постоянная, а \( T \) - температура, можно получить отношение объемов газа при двух разных давлениях:

\[ \frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{P_2}}{{P_1}} \]

Где \( V_1 \) и \( V_2 \) - начальный и конечный объемы газа соответственно. Подставляем известные значения:

\[ \frac{{V_1}}{{V_2}} = \frac{{100 \, \text{кПа}}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \]

Далее, с помощью закона Бойля-Мариотта \( P \cdot V = \text{const} \), можно найти начальный и конечный объемы газа:

\[ V_1 = \frac{{P_1 \cdot V_2}}{{P_2}} \]
\[ V_1 = \frac{{1.5 \, \text{МПа} \cdot V_2}}{{100 \, \text{кПа}}} \]

Так как идеальный газ совершает работу только при изменении объема, то работа газа будет равна:

\[ W = P_1 \cdot (V_1 - V_2) \]

Подставляем выражение для \( V_1 \) и получаем:

\[ W = 1.5 \, \text{МПа} \cdot \left( \frac{{1.5 \, \text{МПа} \cdot V_2}}{{100 \, \text{кПа}}} - V_2 \right) \]

Упрощаем выражение:

\[ W = 1.5 \, \text{МПа} \cdot \left( \frac{{1.5 \cdot V_2}}{{100}} - V_2 \right) \]

Теперь подставляем данное выражение вместо \( V_2 \) и решаем получившееся уравнение:

\[ W = 1.5 \, \text{МПа} \cdot \left( \frac{{1.5 \cdot \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}}}}{{100}} - \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \]

\[ W = 1.5 \, \text{МПа} \cdot \left( \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} - \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \]

Упрощаем выражение и получаем окончательный ответ:

\[ W = 1.5 \, \text{МПа} \cdot \left( \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1 - 100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \]

\[ W = 1.5 \, \text{МПа} \cdot 0 \]

Ответ: идеальный одноатомный газ не совершает работу, так как его объем не меняется при изотермическом расширении от давления 1,5 МПа до 100 кПа при постоянной температуре 300 К.

2) В данной задаче идеальный одноатомный газ также изотермически расширяется, но против внешнего давления. Опять же, так как расширение идет при постоянной температуре, газ совершает работу только за счет изменения объема.

Известны начальное давление \( P_1 = 1.5 \, \text{МПа} \), конечное давление \( P_2 = 100 \, \text{кПа} \), температура \( T = 300 \, \text{K} \).

С помощью закона Бойля-Мариотта \( P \cdot V = \text{const} \), можно найти начальный и конечный объемы газа:

\[ V_1 = \frac{{P_1 \cdot V_2}}{{P_2}} \]
\[ V_1 = \frac{{1.5 \, \text{МПа} \cdot V_2}}{{100 \, \text{кПа}}} \]

Работа газа будет равна:

\[ W = P_2 \cdot (V_2 - V_1) \]

Подставляем значения и решаем уравнение:

\[ W = 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{1.5 \, \text{МПа} \cdot V_2}}{{100 \, \text{кПа}}} \right) \]

Упрощаем выражение:

\[ W = 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{1.5 \cdot V_2}}{{100}} \right) \]

\[ W = 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{1.5 \cdot \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}}}}{{100}} \right) \]

\[ W = 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \]

\[ W = 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \]

Упрощаем выражение и получаем ответ:

\[ W = 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \]

Ответ: идеальный одноатомный газ совершает работу, равную \( 100 \, \text{кПа} \cdot \left( V_2 - \frac{{100 \, \text{кПа} \cdot V_1}}{{1.5 \, \text{МПа}}} \right) \) при изотермическом расширении против внешнего давления от давления 1,5 МПа до 100 кПа при постоянной температуре 300 К.