1) На предприятии работает 100 сотрудников, из которых 56 обладают навыками программирования, 23 работают в цехе

Папоротник

63

Задача 1:
Для решения данной задачи воспользуемся формулой включений-исключений.
Обозначим:
- множество сотрудников, обладающих навыками программирования - \(A\), его мощность \(|A| = 56\);
- множество сотрудников, работающих в цехе - \(B\), его мощность \(|B| = 23\);
- множество сотрудников, работающих и в цехе, и обладающих навыками программирования - \(C\), его мощность \(|C| = 18\).

Из условия задачи нам даны мощности множеств \(A\), \(B\) и \(C\), и мы должны найти мощность множества сотрудников, которые не работают в цехе и не обладают навыками программирования, то есть найти \(|A" \cap B"|\).

Используя формулу включений-исключений, вычислим \(|A" \cap B"|\):

\[|A" \cap B"| = |U| - |A \cup B|\]
\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\]

Так как у нас есть данные о мощностях множеств \(A\), \(B\) и \(C\), можем рассчитать \(|A \cap B|\):

\[|A \cap B| = |C|\]

Теперь можем вычислить \(|A \cup B|\):

\[|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\]

Подставим полученные значения:

\[|A \cup B| = 56 + 23 - 18 = 61\]

Теперь посчитаем общую мощность универсального множества \(U\) (количества всех сотрудников на предприятии). По условию задачи исходная мощность универсального множества равна 100, то есть \(|U| = 100\).

Теперь можем вычислить \(|A" \cap B"|\):

\[|A" \cap B"| = |U| - |A \cup B|\]
\[|A" \cap B"| = 100 - 61 = 39\]

Таким образом, на предприятии 39 сотрудников не работают в цехе и не обладают навыками программирования.

Ответ: 39 сотрудников.

Задача 2:
Для решения данной задачи можем использовать принцип комбинаторики - комбинации без повторений.
Так как у нас есть неограниченное количество болтов, гаек и шурупов, то каждую деталь мы можем выбрать только один раз.

Для выбора 4 деталей из трех различных видов, воспользуемся формулой комбинаций:
\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\]
где \(C_n^k\) - количество способов выбрать \(k\) элементов из множества из \(n\) элементов.

В данной задаче нам дано, что у нас есть неограниченное количество болтов, гаек и шурупов, поэтому каждую деталь мы можем выбрать множество раз. Но формула комбинаций учитывает только выбор элементов без повторений, поэтому мы можем рассматривать данную задачу, как выбор 4 деталей из трех различных видов без повторений.

Подставим значения в формулу комбинаций:

\[C_3^4 = \frac{{3!}}{{4!(3-4)!}} = \frac{{3!}}{{4!(-1)!}} = \frac{{3!}}{{4 \cdot (-1)!}} = \frac{{3!}}{{4 \cdot 1}} = \frac{{3!}}{{4}} = \frac{{3 \cdot 2 \cdot 1}}{{4}} = \frac{{6}}{{4}} = 1.5\]

Таким образом, существует 1.5 способов выбрать 4 детали из неограниченного количества болтов, гаек и шурупов. Ответом будет ближайшее целое число, которое меньше или равно 1.5, то есть 1.

Ответ: Существует 1 способ выбрать 4 детали из неограниченного количества болтов, гаек и шурупов.

Задача 3:
Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением.
Вероятность, при которой орел выпадает при одном подбрасывании монетки, равна \(p = 0.5\).

Вероятность, чтобы орел выпал точно \(k\) раз при \(n\) подбрасываниях монетки, задается формулой биномиального распределения:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]
где \(P(X = k)\) - вероятность того, что событие \(X\) произойдет \(k\) раз, \(C_n^k\) - количество сочетаний из \(n\) по \(k\), \(p\) - вероятность появления события \(X\), \(q\) - вероятность отсутствия события \(X\) (\(q = 1 - p\)).

В данной задаче нам дано, что монетку подбрасывают 40 раз, и мы должны найти вероятность того, что орел выпадет точно 38 раз.

Подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[P(X = 38) = C_{40}^{38} \cdot 0.5^{38} \cdot 0.5^{40-38}\]
\[P(X = 38) = C_{40}^{38} \cdot 0.5^{38} \cdot 0.5^2\]
\[P(X = 38) = \frac{{40!}}{{38!(40-38)!}} \cdot 0.5^{38} \cdot 0.5^2\]
\[P(X = 38) = \frac{{40!}}{{38!2!}} \cdot 0.5^{38} \cdot 0.5^2\]

Теперь рассчитаем значение вероятности \(P(X = 38)\) с точностью до пяти знаков после запятой:

\[P(X = 38) = \frac{{40!}}{{38!2!}} \cdot 0.5^{38} \cdot 0.5^2 \approx 0.12619\]

Ответ: Вероятность того, чтобы орел выпал точно 38 раз при 40 подбрасываниях монетки составляет около 0,12619.