1. Начиная с какого номера все значения последовательности (xn) станут больше или равны заданному числу A? xn=5n−4

Хвостик_2849

28

Хорошо, давайте начнем по порядку.

1. Для того чтобы найти номер первого элемента последовательности, который станет больше или равным заданному числу \(A\), необходимо составить неравенство. В данной задаче у нас дана последовательность \(x_n = 5n - 4\) и число \(A = 24\).

Подставим \(x_n\) в неравенство и решим его:

\[5n - 4 \geq 24\]

Добавим 4 к обеим частям:

\[5n \geq 28\]

Разделим обе части неравенства на 5:

\[n \geq \frac{28}{5}\]

Так как номер должен быть целым числом, округлим результат в большую сторону:

\[n \geq 6\]

Таким образом, начиная с номера 6 все значения последовательности \(x_n\) станут больше или равными числу 24.

2. Для нахождения наименьшего члена последовательности и его порядкового номера, нам нужно выполнять следующие шаги:

Функция \(y_n = 4n^2 - 19n + 9\) представляет собой параболу. Её вершина будет находиться в минимуме или максимуме функции. Чтобы найти порядковый номер наименьшего члена, нам нужно сначала найти вершину параболы.

Для этого воспользуемся формулой для нахождения абсциссы вершины параболы:

\[x = -\frac{b}{2a}\]

В данной задаче \(a = 4\) и \(b = -19\), поэтому:

\[x = -\frac{-19}{2 \cdot 4}\]

Выполняем вычисления:

\[x = \frac{19}{8}\]

Теперь найдем значение функции в этой точке. Подставим \(x\) в функцию \(y_n\):

\[y = 4 \cdot \left(\frac{19}{8}\right)^2 - 19 \cdot \frac{19}{8} + 9\]

Выполняем вычисления:

\[y \approx 1.766\]

Таким образом, наименьший член последовательности равен приблизительно 1.766, а его порядковый номер будет находиться там, где \(n = \frac{19}{8}\) в частичных позициях, что равно примерно 2.375.

3. Для нахождения значений параметра \(p\), при которых последовательность \(y_n = 31n + \frac{p}{32n-1}\) будет ограничена сверху числом \(B\), необходимо рассмотреть следующие шаги:

Ограничение "ограничена сверху числом \(B\)" означает, что для всех членов последовательности \(y_n\) должно выполняться неравенство \(y_n \leq B\).

Подставим \(y_n\) в неравенство:

\[31n + \frac{p}{32n-1} \leq B\]

Для упрощения неравенства, умножим обе части на множитель \(32n-1\):

\[(31n+ \frac{p}{32n-1})(32n-1) \leq B(32n-1)\]

Распределительное свойство дает нам:

\[31n(32n-1) + p \leq B(32n-1)\]

Развернем всё выражение:

\[992n^2 - 31n + p \leq 32Bn - B\]

Теперь сгруппируем все члены и упростим его:

\[992n^2 - (31+32B)n + p + B \leq 0\]

Очевидно, что в этом неравенстве выражение между скобками должно быть меньше или равно нулю.

У нас есть два условия для задачи:

\[
\begin{align*}
992 &\geq 0 \\
31+32B &\geq 0
\end{align*}
\]

Решим каждое из них:

1. \(992 \geq 0\) -- это истинное неравенство, так как 992 является положительным числом.
2. \(31+32B \geq 0\) -- вычтем 31 из обеих частей неравенства: \(32B \geq -31\) и разделим обе части на 32: \(B \geq -\frac{31}{32}\)

Таким образом, для всех значений параметра \(p\), где \(p\) -- любое вещественное число, и \(B \geq -\frac{31}{32}\), последовательность \(y_n\) будет ограничена сверху числом \(B\).