Сколько составляет сумма площадей всех вписанных квадратов в данной последовательности, где каждый новый квадрат вписан
Сколько составляет сумма площадей всех вписанных квадратов в данной последовательности, где каждый новый квадрат вписан в предыдущий квадрат таким образом? Сколько равна площадь наибольшего квадрата в этой последовательности? Какую формулу нужно использовать для решения этой задачи: b1(1−qn)1−q, b11−q, (b1+b2)q2 или b11−q2?
Пума 27
Для решения данной задачи, нам понадобится формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:\[S = \frac{a_1}{1 - q}\]
где \(S\) - сумма прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(q\) - знаменатель прогрессии.
В данной задаче, площадь каждого квадрата можно рассматривать как члены геометрической прогрессии. Площади квадратов образуют последовательность, где каждый новый квадрат вписывается в предыдущий квадрат. Для того чтобы решить задачу, нужно найти сумму площадей всех таких квадратов.
Первый квадрат имеет сторону \(b_1\), его площадь равна \(S_1 = b_1^2\).
Второй квадрат вписывается в первый квадрат, его сторона равна \(b_2 = b_1 \cdot q\), где \(q\) - коэффициент убывания сторон квадратов в последовательности.
Третий квадрат вписывается во второй квадрат, его сторона равна \(b_3 = b_2 \cdot q = b_1 \cdot q^2\).
Продолжая по аналогии, каждая следующая сторона квадрата равна предыдущей стороне, умноженной на \(q\), то есть \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Теперь мы можем найти сумму площадей всех вписанных квадратов. Подставим в формулу значения каждого члена последовательности:
\[S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots = b_1^2 + (b_1 \cdot q)^2 + (b_1 \cdot q^2)^2 + \ldots\]
Такая сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где первый член \(a_1 = b_1^2\) и знаменатель \(q = (b_1 \cdot q)^2 / (b_1^2) = q^2\).
Подставив значения в формулу, получим:
\[S = \frac{b_1^2}{1 - q^2}\]
Таким образом, сумма площадей всех квадратов в последовательности равна \(\frac{b_1^2}{1 - q^2}\).
Чтобы найти площадь наибольшего квадрата в этой последовательности, нужно найти предел суммы площадей при \(n \to \infty\). То есть:
\[\lim_{{n \to \infty}} S = \lim_{{n \to \infty}} \frac{b_1^2}{1 - q^2} = \frac{b_1^2}{1 - q^2}\]
Таким образом, ответ на задачу:
1) Сумма площадей всех вписанных квадратов равна \(\frac{b_1^2}{1 - q^2}\).
2) Площадь наибольшего квадрата в этой последовательности также равна \(\frac{b_1^2}{1 - q^2}\).
Мы использовали формулу \(b_1(1 - q^n)/(1 - q)\) и \(b_1/(1 - q^2)\), где последняя формула правильная для данной задачи.