Какова область определения функции y =√(3x - x^2)?

Vintik_4184

69

Хорошо, давайте посмотрим на задачу. У нас дана функция \(y = \sqrt{3x - x^2}\), и мы хотим найти ее область определения. Область определения функции - это множество значений аргументов, для которых функция определена. В данном случае, функция определена только при условии, что выражение под корнем \(3x - x^2\) неотрицательно, так как корень квадратный из отрицательного числа не может быть определен в вещественных числах.

Чтобы найти область определения, мы можем решить неравенство \(3x - x^2 \geq 0\). Для этого нам нужно найти корни уравнения \(3x - x^2 = 0\) и определить знак выражения между корнями.

Давайте решим уравнение \(3x - x^2 = 0\):
\[x^2 - 3x = 0\]
\[x(x - 3) = 0\]
Таким образом, у нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = 3\).

Теперь посмотрим на знак выражения \(3x - x^2\) между этими корнями. Мы можем использовать тестирование точек или построить график функции. Давайте воспользуемся тестированием точек.

Выберем произвольную точку внутри каждого из трех интервалов: \((- \infty, 0)\), \((0, 3)\) и \((3, +\infty)\). Подставим эти значения в выражение \(3x - x^2\) и посмотрим на знак:

1. Выбираем \(x = -1\): \(3(-1) - (-1)^2 = -3 - 1 = -4\). Значит, знак выражения в интервале \((- \infty, 0)\) отрицательный.
2. Выбираем \(x = 1\): \(3(1) - (1)^2 = 3 - 1 = 2\). Значит, знак выражения в интервале \((0, 3)\) положительный.
3. Выбираем \(x = 4\): \(3(4) - (4)^2 = 12 - 16 = -4\). Значит, знак выражения в интервале \((3, +\infty)\) отрицательный.

Итак, мы имеем следующую информацию о знаке выражения \(3x - x^2\) в каждом из интервалов: отрицательный в \((- \infty, 0)\) и \((3, +\infty)\), положительный в интервале \((0, 3)\).

Теперь мы можем записать область определения функции \(y = \sqrt{3x - x^2}\) в виде интервалов, где выражение \(3x - x^2\) неотрицательно. Исключим из рассмотрения точку 0, так как корень квадратный из него уже определен.

Область определения функции:
\((- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, +\infty)\).

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как найти область определения функции \(y = \sqrt{3x - x^2}\). Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их!