Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если меньшая сторона его основания равна 6 см, а угол между диагоналями

Yastreb

70

Для начала найдем длину большей стороны основания прямоугольного параллелепипеда. Зная меньшую сторону основания, можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения длины диагонали основания.

Так как диагонали основания образуют угол 60°, можем применить тригонометрический закон косинусов для нахождения длины большей стороны основания.

По теореме Пифагора получаем:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

Где a - меньшая сторона основания (6 см), b - большая сторона основания, c - диагональ основания.

Подставив известные значения, получаем:
\[ 6^2 + b^2 = c^2 \]
\[ 36 + b^2 = c^2 \] (1)

Теперь рассмотрим треугольник, образованный диагональю параллелепипеда и плоскостью основания. Обозначим угол между этой диагональю и плоскостью основания как альфа.

Аналогично, можем применить косинусы в этом треугольнике:
\[ \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \]
\[ \cos(\alpha) = \frac{6}{c} \]

Теперь объединим полученные уравнения (1) и (2), чтобы решить систему уравнений:

\[ \cos(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{36 + b^2}} \] (2)

Теперь решим уравнение (2) относительно b:

\[ \cos(\alpha) \cdot \sqrt{36 + b^2} = 6 \]

Возводим обе части уравнения в квадрат:
\[ \cos^2(\alpha) \cdot (36 + b^2) = 36 \]

Раскрываем скобки и упрощаем:
\[ 36\cos^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) \cdot b^2 = 36 \]

Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:
\[ b^2 = 36\left( \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1 \right) \]

Теперь находим b:
\[ b = \sqrt{36\left( \frac{1}{\cos^2(\alpha)} - 1 \right)} \]

Подставим значение угла alpha (60°) в радианах (так как функции тригонометрии в данном контексте работают с радианами):
\[ \alpha = \frac{60}{180}\pi = \frac{1}{3} \pi \]

Подставляя это значение в формулу, получаем:
\[ b = \sqrt{36\left( \frac{1}{\cos^2\left(\frac{1}{3}\pi \right)} - 1 \right)} \]

Вычисляя выражение под корнем:
\[ b = \sqrt{36\left( \frac{1}{\left( \cos\left(\frac{1}{3}\pi \right)\right)^2} - 1 \right)} \]

\[ b = \sqrt{36 \cdot \left(\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} - 1 \right)} \]

\[ b = \sqrt{36 \cdot (4 - 1)} \]

\[ b = \sqrt{36 \cdot 3} \]

\[ b = \sqrt{108} \]

\[ b \approx 10,39 \]

Таким образом, получим, что большая сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна примерно 10.39 см.

Для нахождения угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, воспользуемся следующим уравнением:
\[ \cos(\theta) = \frac{a}{d} \]
где theta - угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, a - меньшая сторона основания (6 см), d - диагональ параллелепипеда.

Подставим значения:
\[ \cos(\theta) = \frac{6}{\sqrt{36 + 108}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{6}{\sqrt{144}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{6}{12} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{2} \]

Таким образом, угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 60°.