1. Найдите координаты всех векторов треугольника АВС в прямоугольной системе координат пространства. 2. Найдите

Карамель

7

1. Чтобы найти координаты векторов треугольника АВС, мы должны вычислить разности координат между точками. Вектором называется направленный отрезок, который представляет собой разность координат точек.

Для вектора АВ:
\[
\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (0 - (-3); -1 - (-1); -1 - (-1)) = (3; 0; 0)
\]

Для вектора АС:
\[
\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (2 - (-3); -1 - (-1); -1 - (-1)) = (5; 0; 0)
\]

2. Чтобы найти периметр треугольника АВС, мы должны вычислить длины всех трех сторон и сложить их.

Длина стороны АВ можно найти как длину вектора \(\overrightarrow{AB}\):
\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{{(3)^2 + (0)^2 + (0)^2}} = \sqrt{{9}} = 3
\]

Длина стороны AC можно найти как длину вектора \(\overrightarrow{AC}\):
\[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{{(5)^2 + (0)^2 + (0)^2}} = \sqrt{{25}} = 5
\]

Длина стороны BC можно найти как длину вектора \(\overrightarrow{BC}\), который равен разности векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\):
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = (5 - 3; 0 - 0; 0 - 0) = (2; 0; 0)
\]
\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{{(2)^2 + (0)^2 + (0)^2}} = \sqrt{{4}} = 2
\]

Теперь мы можем сложить длины всех сторон:
\[
\text{Периметр треугольника АВС} = AB + AC + BC = 3 + 5 + 2 = 10
\]

3. Чтобы найти косинусы всех углов треугольника АВС, мы используем формулу косинуса для треугольников:
\[
\cos{\alpha} = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}
\]

Косинус угла А:
\[
\cos{\angle A} = \frac{{3^2 + 5^2 - 2^2}}{{2 \cdot 3 \cdot 5}} = \frac{{9 + 25 - 4}}{{30}} = \frac{{30}}{{30}} = 1
\]

Косинус угла В:
\[
\cos{\angle B} = \frac{{3^2 + 2^2 - 5^2}}{{2 \cdot 3 \cdot 2}} = \frac{{9 + 4 - 25}}{{12}} = \frac{{-12}}{{12}} = -1
\]

Косинус угла С:
\[
\cos{\angle C} = \frac{{5^2 + 2^2 - 3^2}}{{2 \cdot 5 \cdot 2}} = \frac{{25 + 4 - 9}}{{20}} = \frac{{20}}{{20}} = 1
\]

4. Чтобы найти координаты середин сторон треугольника АВС, мы должны вычислить среднее значение координат точек, определяющих каждую сторону.

Для середины стороны АВ:
\[
\text{Координаты середины АВ} = \left(\frac{{x_A + x_B}}{2}; \frac{{y_A + y_B}}{2}; \frac{{z_A + z_B}}{2}\right) = \left(\frac{{-3 + 0}}{2}; \frac{{-1 + (-1)}}{2}; \frac{{-1 + (-1)}}{2}\right) = (-\frac{{3}}{2}; -1; -1)
\]

Для середины стороны АС:
\[
\text{Координаты середины АС} = \left(\frac{{x_A + x_C}}{2}; \frac{{y_A + y_C}}{2}; \frac{{z_A + z_C}}{2}\right) = \left(\frac{{-3 + 2}}{2}; \frac{{-1 + (-1)}}{2}; \frac{{-1 + (-1)}}{2}\right) = (-\frac{{1}}{2}; -1; -1)
\]

Для середины стороны ВС:
\[
\text{Координаты середины ВС} = \left(\frac{{x_B + x_C}}{2}; \frac{{y_B + y_C}}{2}; \frac{{z_B + z_C}}{2}\right) = \left(\frac{{0 + 2}}{2}; \frac{{-1 + (-1)}}{2}; \frac{{-1 + (-1)}}{2}\right) = (1; -1; -1)
\]

Таким образом, координаты середин сторон треугольника АВС равны:
Середина стороны АВ: \(-\frac{3}{2}; -1; -1\)
Середина стороны АС: \(-\frac{1}{2}; -1; -1\)
Середина стороны ВС: \(1; -1; -1\)