1. Найдите площадь боковой поверхности прямой призмы, если ее основание представляет собой прямоугольный треугольник

Радужный_Мир

61

Хорошо, давайте решим поочередно каждую задачу.

1. Чтобы найти площадь боковой поверхности прямой призмы, нам необходимо найти периметр основания и умножить его на высоту призмы.

Основание представляет собой прямоугольный треугольник со сторонами 10 см и 24 см. Чтобы определить периметр, нужно сложить длины всех его сторон. Периметр прямоугольного треугольника равен сумме длин катетов и гипотенузы:

\[
P = a + b + c
\]

Где a и b - длины катетов, а c - длина гипотенузы.

Так как у нас треугольник прямоугольный, то мы можем найти длину гипотенузы, используя теорему Пифагора:

\[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
\]

В нашем случае, a = 10 см и b = 24 см, поэтому:

\[
c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26 \text{ см}
\]

Теперь, чтобы найти периметр основания, мы сложим длины его сторон:

\[
P = 10 + 24 + 26 = 60 \text{ см}
\]

Затем, умножим периметр на высоту призмы. Пусть высота призмы будет h см:

\[
S = P \cdot h = 60 \cdot h \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы равна \(60h\) квадратных сантиметров.

2. Для нахождения площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды с высотой h см и двугранным углом при основании a градусов, нужно найти площадь основания и прибавить к ней площади боковой поверхности.

Двугранный угол при основании пирамиды a равен 45 градусов. В этом случае основание будет представлять собой квадрат, а каждая грань будет равнобедренной прямоугольной трапецией.

Площадь основания квадртатной пирамиды можно найти по формуле:

\[
S_{\text{осн}} = a^2
\]

Где a - длина стороны основания. В данной задаче, нам не дана длина стороны, однако, если пирамида является правильной, то в этом случае сторона и основание равны. Поэтому, можем записать:

\[
S_{\text{осн}} = a^2 = h^2 \text{ см}^2
\]

Теперь для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, необходимо найти периметр основания и умножить его на половину высоты пирамиды.

Периметр основания будет равен \(P = 4a\)

Теперь мы должны найти a, используя двугранный угол a при основании пирамиды. Для этого воспользуемся тангенсом, так как:

\[
\tan(a) = \frac{h}{\frac{a}{2}}
\]

Раскрывая

\[
a = \frac{2h}{\tan(a)}
\]

Мы знаем, что a равна

\[
a = \frac{2h}{\tan(45)} = 2h
\]

Теперь, чтобы найти периметр, мы можем записать:

\[
P = 4a = 8h
\]

Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности, умножив периметр основания на половину высоты пирамиды:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} Ph = \frac{1}{2} \cdot 8h \cdot h = 4h^2
\]

Теперь для нахождения площади полной поверхности пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности:

\[
S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{осн}} = 4h^2 + h^2 = 5h^2 \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна \(5h^2\) квадратных сантиметров.

3. Чтобы найти апофему пирамиды и площадь ее боковой поверхности, нам необходимо знать высоту и радиус основания.

Данная задача описывает правильную треугольную пирамиду, где высота равна 2 см, а радиус окружности, описанной вокруг основания, равен 4 см.

Апофема пирамиды (aп) - это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Мы можем найти апофему пирамиды, используя теорему Пифагора, где \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота пирамиды:

\[
a_{\text{п}} = \sqrt{r^2 - h^2}
\]

Подставляя заданные значения:

\[
a_{\text{п}} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}
\]

Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нужно умножить полупериметр основания на апофему пирамиды:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P a_{\text{п}}
\]

Чтобы найти полупериметр основания, нам нужно знать длины всех его сторон. Однако, поскольку здесь речь идет о правильной треугольной пирамиде, стороны основания равны. Таким образом, мы можем найти длину одной стороны основания, используя радиус окружности, описанной вокруг основания:

\[
P = 3r
\]

Подставляя заданный радиус:

\[
P = 3 \cdot 4 = 12 \text{ см}
\]

Теперь, подставляя значения в формулу, мы можем найти площадь боковой поверхности:

\[
S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см}^2
\]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(12\sqrt{3}\) квадратных сантиметров.