трапеции ABCD проведены диагонали через точку O, и отрезок MN параллелен основаниям AD и BC. 1. Докажите, что отрезок

Блестящая_Королева

63

1. Чтобы доказать, что отрезок в точке O делится пополам, нам нужно использовать свойство трапеции, что диагонали в трапеции делят друг друга пополам.

Представим, что точка M делит основание AD на два отрезка: AM и MD, а точка N делит основание BC на два отрезка: BN и NC. Тогда между этими отрезками можем установить следующие соотношения:

MO = AM + ON
ON = NC + NO

Помним, что AB и CD являются параллельными, поэтому BM = CD. Аналогично, мы также можем выразить длины отрезков через основания AD и BC:

AM = AD - MD
NC = BC - BN

Осталось найти длины MD и BN, чтобы полностью выразить MO и ON через AD и BC. Заметим, что треугольники AOD и BOC являются подобными, так как углы D и C противоположны и углы A и B противоположны.

Таким образом, мы можем записать пропорцию между сторонами треугольников:

\(\frac{MD}{CD} = \frac{AD}{BC}\)
\(\frac{MD}{BM} = \frac{AD}{BC}\)
\(\frac{MD}{CD + BM} = \frac{AD}{BC}\)
\(\frac{MD}{BC} = \frac{AD}{BC} - \frac{CD}{BC}\)
\(\frac{MD}{BC} = \frac{AD}{BC} - 1\)

Аналогично,

\(\frac{BN}{AB} = \frac{BC}{AD} - 1\)

Таким образом, мы найдем значения MD и BN:

\(MD = \frac{AD}{BC} - 1 \cdot BC\)
\(BN = \frac{BC}{AD} - 1 \cdot AB\)

Теперь мы можем выразить MO и ON через MD, BN, AD и BC:

\(MO = AM + ON = (AD - MD) + (BN + BC - NC)\)
\(ON = NC + NO = (BC - BN) + (NC - NC)\)

Подставляем значения MD и BN:

\(MO = (AD - \frac{AD}{BC} + BC) + (\frac{BC}{AD} - 1 \cdot AB + BC - (BC - \frac{BC}{AD} + AB))\)
\(ON = (BC - \frac{BC}{AD} + AB) + (\frac{AD}{BC} - 1 \cdot BC + BC - (BC - \frac{BC}{AD} + AB))\)

Упрощаем выражения:

\(MO = (AD + BC) - \frac{AD}{BC} + \frac{BC}{AD}\)
\(ON = (BC + AB) - \frac{BC}{AD} + \frac{AD}{BC}\)

Таким образом, мы видим, что MO и ON выражены через основания AD и BC, и эти выражения симметричны, что означает, что отрезок в точке O действительно делится пополам.

2. Теперь, когда мы доказали, что отрезок в точке O делится пополам, мы можем использовать значения оснований AD = 11 см и BC = 4 см, чтобы найти длину отрезка.

Подставляем значения в выражения MO и ON:

\(MO = (AD + BC) - \frac{AD}{BC} + \frac{BC}{AD} = (11 + 4) - \frac{11}{4} + \frac{4}{11} = 15 - \frac{44}{16} + \frac{16}{44}\)
\(ON = (BC + AB) - \frac{BC}{AD} + \frac{AD}{BC} = (4 + 11) - \frac{4}{11} + \frac{11}{4} = 15 - \frac{44}{44} + \frac{16}{16}\)

Сокращаем дроби:

\(MO = 15 - \frac{11}{4} + \frac{4}{11} = 15 - \frac{11 \cdot 11}{4 \cdot 11} + \frac{4 \cdot 4}{11 \cdot 4} = 15 - \frac{121}{44} + \frac{16}{44} = 15 - \frac{105}{44} = \frac{660}{44} - \frac{105}{44} = \frac{555}{44}\)
\(ON = 15 - \frac{4}{11} + \frac{11}{4} = 15 - \frac{4 \cdot 4}{11 \cdot 4} + \frac{11 \cdot 11}{4 \cdot 11} = 15 - \frac{16}{44} + \frac{121}{44} = 15 + \frac{105}{44} = \frac{660}{44} + \frac{105}{44} = \frac{765}{44}\)

Таким образом, длина отрезка MO равна \(\frac{555}{44}\) см, а длина отрезка ON равна \(\frac{765}{44}\) см. Мы не можем записать ответ в виде несокращенной дроби, так как длина отрезка MO и ON не являются целыми числами.