1. Найдите площадь треугольника AB, если внутри треугольника KBM площадь равна 14см2. 2. Найдите площадь

Misticheskiy_Lord

49

1. Для начала рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Пусть сторона AB равна a, а сторона BK равна b. Обозначим высоту данного треугольника, опущенную из вершины B, как h.

Так как площадь треугольника KBM равна 14 см², то можем составить следующее уравнение:
\[14 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h\]

Теперь рассмотрим треугольник AKM, в котором площадь равна 5 см². Этот треугольник содержит прямоугольный треугольник ABK. Так как площадь может быть выражена через основание и высоту, можем записать следующее уравнение:
\[5 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными (a и b):
\[\begin{cases} 14 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \\ 5 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \end{cases}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого умножим второе уравнение на \(\frac{2}{h}\) и затем подставим его в первое уравнение, чтобы избавиться от переменной h:
\[14 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \left(\frac{2}{h} \cdot 5\right)\]
\[14 = \frac{1}{h} \cdot b \cdot 10\]
\[b = \frac{14h}{10} = \frac{7h}{5}\]

Теперь, зная b, можем подставить его во второе уравнение:
\[5 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
\[a = \frac{10}{h}\]

Таким образом, мы получили, что a = \(\frac{10}{h}\) и b = \(\frac{7h}{5}\).

2. Теперь рассмотрим четырехугольник BKMC. Он состоит из двух треугольников ABK и AKM, которые у нас уже известны. Мы можем найти площадь четырехугольника, вычитая площади треугольников из площади квадрата ABCD.

Площадь квадрата ABCD равна стороне в квадрате, то есть S = a².

Теперь найдем площади треугольников:
\[S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]
\[S_{AKM} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{10}{h}\right) \cdot h\]
\[S_{BKMC} = S - S_{ABK} - S_{AKM}\]
\[S_{BKMC} = a^2 - \frac{1}{2} \cdot a \cdot h - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{10}{h}\right) \cdot h\]

Подставив значения a = \(\frac{10}{h}\) и b = \(\frac{7h}{5}\) из первой задачи, мы можем выразить площадь четырехугольника только через переменную h:
\[S_{BKMC} = \left(\frac{10}{h}\right)^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{h} \cdot h - \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{10}{h}\right) \cdot h\]

Упростим это выражение:
\[S_{BKMC} = \frac{100}{h^2} - 5 - 5 = \frac{100}{h^2} - 10\]

Таким образом, площадь четырехугольника BKMC равна \(\frac{100}{h^2} - 10\).

3. Чтобы решить эту задачу, рассмотрим квадрат ABCD. Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA как E, F, G и H соответственно.

Мы можем заметить, что соединяя середины смежных сторон квадрата, мы получаем новый четырехугольник, который является параллелограммом. Обозначим его вершины как P, Q, R и S, где P - середина стороны AB, Q - середина стороны BC, R - середина стороны CD, и S - середина стороны DA.

Так как стороны квадрата равны, то длины сторон получившегося параллелограмма равны. Обозначим эту длину как a.

Теперь рассмотрим треугольники ABE и CDE. Они являются прямоугольными треугольниками, так как их гипотенузы равны стороне квадрата ABCD. Заметим, что треугольники ABE и CDE равны друг другу по теореме о гипотенузе и катете.

Таким образом, треугольники ABE и CDE равны, а значит, их высоты равны. Обозначим эту высоту как h.

Теперь рассмотрим треугольник PSR. Так как по построению длины сторон этого треугольника равны a, то площадь можно найти, умножив длину основания на высоту:
\[S_{PSR} = a \cdot h\]

Таким образом, при соединении середин смежных сторон в квадрате получается параллелограмм PSRQ. Площадь этого параллелограмма равна a \cdot h, где a - длина основания, а h - высота.

Окончательно, мы получаем следующий ответ: при соединении середин смежных сторон в квадрате образуется параллелограмм.