1. Найдите производную следующих функций: a) f(x)=8x^(7 )-x^9/9+πx^3-1; b) f(x)=(4x-5)√x; c) f(x)=〖tg〗^3 (4x

Puma

25

Хорошо, начнем с решения задач.

1.

a) Найдем производную функции \(f(x)=8x^{7 }-\frac{x^9}{9}+\pi x^3-1\):

\[f"(x)=\left(8x^{7}\right)"-\left(\frac{x^9}{9}\right)" + \left(\pi x^3\right)" - (1)"\]

Используя правило производной степенной функции, получим:

\[f"(x)=56x^6 - \frac{9x^8}{9} + 3\pi x^2 - 0\]

\(\frac{9x^8}{9}\) сокращается до \(x^8\), поэтому окончательно получаем:

\[f"(x)=56x^6 - x^8 + 3\pi x^2 - 0\]

b) Найдем производную функции \(f(x)=(4x-5)\sqrt{x}\):

\[f"(x) = (4x-5)"(\sqrt{x}) + (4x-5)(\sqrt{x})"\]

Производная первого слагаемого равна 4, а производная второго слагаемого можно найти, используя правило производной композиции функций:

\[(\sqrt{x})" = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

Подставляем значения в исходную формулу:

\[f"(x) = 4(\sqrt{x}) + (4x-5)\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\]

Упрощаем:

\[f"(x) = 4\sqrt{x} + \frac{2x-5}{2\sqrt{x}}\]

c) Найдем производную функции \(f(x)=\tan^3(4x)\):

\[f"(x) = \left(\tan^3(4x)\right)"\]

Применяем правило производной композиции для функции \(\tan(4x)\):

\[\left(\tan(4x)\right)" = \sec^2(4x) \cdot (4x)"\]

Для функции \(\tan^3(4x)\) применяем правило производной произведения:

\[f"(x) = 3\tan^2(4x) \cdot \left(\sec^2(4x) \cdot (4x)"\right)\]

Для \(\left(\sec^2(4x) \cdot (4x)"\right)\) применяем правило производной композиции:

\[\left(\sec^2(4x) \cdot (4x)"\right) = \sec^2(4x) \cdot 4\]

Подставляем значения в исходную формулу:

\[f"(x) = 3\tan^2(4x) \cdot (\sec^2(4x) \cdot 4)\]

Упрощаем:

\[f"(x) = 12\tan^2(4x)\sec^2(4x)\]

d) Найдем производную функции \(f(x)=\frac{x^3-1}{x}\):

\[f"(x) = \left(\frac{x^3-1}{x}\right)"\]

Применяем правило производной частного:

\[f"(x) = \frac{(x^3-1)" \cdot x - (x^3-1) \cdot 1}{x^2}\]

Извлекаем производную разности:

\[f"(x) = \frac{(3x^2)\cdot x - (x^3-1)}{x^2}\]

Упрощаем:

\[f"(x) = \frac{3x^3 - x^3 + 1}{x^2}\]

\[f"(x) = \frac{2x^3 + 1}{x^2}\]

2.

Уравнение касательной к кривой в точке \((x_0, f(x_0))\) имеет вид:

\[y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0)\]

Подставляем значения:

Уравнение касательной к кривой, заданной функцией \(f(x)=2x^3+2x\), в точке \((x_0 = -1, f(x_0))\):

\[y - f(-1) = f"(-1)(x - (-1))\]

Сначала найдем значения функции и ее производной в точке \(-1\):

\[f(-1) = 2(-1)^3 + 2(-1) = -2\]
\[f"(-1) = (f(x)=2x^3+2x)" = 6x^2 + 2|_{x=-1} = 6 \cdot (-1)^2 + 2 = 6 + 2 = 8\]

Подставляем эти значения в уравнение касательной:

\[y + 2 = 8(x + 1)\]

3.

Поскольку материальная точка движется по оси координат, скорость определяется как производная от положения точки по времени \(t\). Поэтому, чтобы найти скорость в момент времени \(t = c\), нам нужно взять производную от \(s(t)\) и подставить значение \(t = c\).

4.

Уравнение касательной к кривой в точке \((x_0, f(x_0))\) имеет вид:

\[y - f(x_0) = f"(x_0)(x - x_0)\]

По условию задачи, касательная параллельна прямой \(y = 3x + 1\), поэтому ее производная должна быть равна производной этой прямой, то есть \(f"(x_0) = 3\).

Теперь составим уравнение касательной к кривой, заданной функцией \(f(x) = x^2 - 5x + 3\), в точке с неизвестной абсциссой \(x_0\):

\[y - f(x_0) = 3(x - x_0)\]

Значение функции в точке \((x_0, f(x_0))\) получим, подставив \(x_0\) в функцию \(f(x)\):

\[f(x_0) = (x_0)^2 - 5(x_0) + 3\]

Таким образом, уравнение касательной примет вид:

\[y - [(x_0)^2 - 5(x_0) + 3] = 3(x - x_0)\]