Что нужно найти в треугольнике ABC, если угол A равен 45 градусов, угол B равен 30 градусов, а BC равно 9 корней

Igor

3

Данная задача требует определения значений сторон треугольника ABC, при данных значениях углов и одной стороне. Для решения такой задачи мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями.

Для начала определим, как связаны стороны и углы в треугольнике. Для этого воспользуемся теоремой синусов:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Где a, b и c - стороны треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

В данной задаче у нас известны углы A = 45° и B = 30°, а также сторона BC = 9 корней. Для нахождения значений остальных сторон треугольника мы можем использовать свойства и соотношения тригонометрии.

Сначала найдем значение угла C, используя то, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

C = 180 - A - B
C = 180 - 45 - 30
C = 105 градусов

Теперь, зная значение угла C, мы можем применить теорему синусов для нахождения значений сторон треугольника:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\]

Найдем значение стороны AC:

\[\frac{AC}{\sin A} = \frac{BC}{\sin B}\]
\[\frac{AC}{\sin 45°} = \frac{9 \sqrt{3}}{\sin 30°}\]
\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9 \sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\]
\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 18 \sqrt{3}\]
AC = 18

Теперь найдем значение стороны AB:

\[\frac{AB}{\sin A} = \frac{BC}{\sin C}\]
\[\frac{AB}{\sin 45°} = \frac{9 \sqrt{3}}{\sin 105°}\]
\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}}\]
\[\frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{9 \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}\]
\[AB = \frac{9 \sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}\]
\[AB = \frac{9 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}\]
\[AB = \frac{9 \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}\]

Таким образом, в треугольнике ABC, при условии, что угол A равен 45 градусам, угол B равен 30 градусам и сторона BC равна 9 корней, сторона AC будет равна 18, а сторона AB будет равна \(\frac{9 \sqrt{6}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}\).