1) Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения 1)x^2+8x-263=0. 2) Определите сумму и произведение корней

Magnitnyy_Pirat

19

Хорошо, давайте решим каждую задачу последовательно:

1) Для начала, найдем корни квадратного уравнения \(x^2+8x-263=0\). Для этого мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - коэффициенты уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

В данном случае, у нас \(a=1\), \(b=8\), и \(c=-263\), поэтому:

\[D = (8)^2 - 4(1)(-263) = 64 + 1052 = 1116\]

Теперь, когда у нас есть значение дискриминанта (\(D\)), мы можем найти корни уравнения.

Если \(D > 0\), то у уравнения два различных вещественных корня.
Если \(D = 0\), то у уравнения есть один вещественный корень кратности 2.
Если \(D < 0\), то у уравнения нет вещественных корней.

В нашем случае \(D = 1116\), поэтому у уравнения два различных вещественных корня.

Теперь, найдем сами корни уравнения с помощью формулы:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]

Подставляя значения: \(a=1\), \(b=8\), и \(D=1116\), получим:

\[x_1 = \frac{{-8 + \sqrt{1116}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[x_2 = \frac{{-8 - \sqrt{1116}}}{{2 \cdot 1}}\]

Теперь можно вычислить корни:

\[x_1 \approx 7.263\]
\[x_2 \approx -15.263\]

Чтобы найти сумму корней, мы просто сложим их:

\[7.263 + (-15.263) = -8\]

Чтобы найти произведение корней, мы перемножим их:

\[7.263 \times (-15.263) \approx -111.001\]

Таким образом, сумма корней этого уравнения равна -8, а их произведение равно примерно -111.001.

2) Давайте решим вторую задачу. У нас есть уравнение \(x^2-14x+5=0\). Также найдем значения суммы и произведения корней.

Сначала найдем значение дискриминанта \(D\):

\[D = (-14)^2 - 4(1)(5) = 196 - 20 = 176\]

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два различных вещественных корня.

Затем найдем сами корни уравнения, используя формулу:

\[x_1 = \frac{{-(-14) + \sqrt{176}}}{{2 \cdot 1}}\]
\[x_2 = \frac{{-(-14) - \sqrt{176}}}{{2 \cdot 1}}\]

После вычислений получим:

\[x_1 \approx 14.854\]
\[x_2 \approx -0.854\]

Сумма корней:

\[14.854 + (-0.854) \approx 14\]

Произведение корней:

\[14.854 \times (-0.854) \approx -12.690\]

Таким образом, сумма корней этого уравнения равна 14, а их произведение равно примерно -12.690.

3) Теперь рассмотрим третью задачу. У нас есть уравнение \(5x^2-12x-7=0\). Необходимо найти сумму и произведение корней без решения самого уравнения.

Посмотрим на коэффициенты уравнения: \(a=5\), \(b=-12\), \(c=-7\). Знаем, что сумма корней равна \(-\frac{b}{a}\), а произведение корней равно \(\frac{c}{a}\).

Подставим значения:

Сумма корней:

\(-\frac{b}{a} = -\frac{-12}{5} = \frac{12}{5}\)

Произведение корней:

\(\frac{c}{a} = \frac{-7}{5}\)

Таким образом, сумма корней данного уравнения равна \(\frac{12}{5}\), а их произведение равно \(\frac{-7}{5}\).

4) Наконец, рассмотрим четвертую задачу. У нас есть уравнение \(11x^2+29x+3=0\). Найдем сумму и произведение корней.

Вычислим значение дискриминанта \(D\):

\[D = (29)^2 - 4(11)(3) = 841 - 132 = 709\]

Так как \(D > 0\), у уравнения есть два различных вещественных корня.

Вычислим корни уравнения:

\[x_1 = \frac{{-29 + \sqrt{709}}}{{2 \cdot 11}}\]
\[x_2 = \frac{{-29 - \sqrt{709}}}{{2 \cdot 11}}\]

После вычислений получим:

\[x_1 \approx 0.209\]
\[x_2 \approx -2.909\]

Сумма корней:

\[0.209 + (-2.909) \approx -2.700\]

Произведение корней:

\[0.209 \times (-2.909) \approx -0.608\]

Таким образом, сумма корней этого уравнения равна примерно -2.700, а их произведение равно примерно -0.608.

Надеюсь, данное объяснение помогло вам понять каждую задачу. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.