1. Найдите угол К и длину гипотенузы КМ в треугольнике МКТ, где Т - прямой угол, МТ = 7 см, КТ = 7√3. 2. Найдите длину

Skolzkiy_Pingvin

43

Решение:

1. Для нахождения угла К в треугольнике МКТ можно воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:
\[КТ^2 = МТ^2 + МК^2 - 2 \cdot МТ \cdot МК \cdot \cos(К)\]

Подставляем известные значения:
\[7\sqrt{3}^2 = 7^2 + МК^2 - 2 \cdot 7 \cdot МК \cdot \cos(К)\]
\[63 = 49 + МК^2 - 14МК\cos(К)\]

Учитывая, что угол Т является прямым, то его косинус равен 0, получаем:
\[63 = 49 + МК^2\]
\[МК^2 = 63 - 49\]
\[МК^2 = 14\]
\[МК = \sqrt{14}\]

Теперь найдем длину гипотенузы КМ, воспользовавшись теоремой Пифагора:
\[КМ^2 = МК^2 + КТ^2\]
\[КМ^2 = 14 + 49\]
\[КМ = \sqrt{63}\]

Таким образом, угол К равен \(\sqrt{14}\) и длина гипотенузы КМ равна \(\sqrt{63}\).

2. Чтобы найти длину стороны АС, воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна половине длины этой стороны. Таким образом, получаем:
\[АС = 2 \cdot МN\]
\[АС = 2 \cdot 14,3\]
\[АС = 28,6\]

Длина стороны АС равна 28,6 см.

3. Для нахождения синуса, косинуса и тангенса угла В в прямоугольном треугольнике АВС воспользуемся следующими формулами:

\[\sin(В) = \frac{{противоположный\_катет}}{{гипотенуза}}\]
\[\cos(В) = \frac{{прилежащий\_катет}}{{гипотенуза}}\]
\[\tan(В) = \frac{{противоположный\_катет}}{{прилежащий\_катет}}\]

Из условия задачи уже известно, что гипотенуза АВ равна 17 см, и катет АС равен 15 см. Тогда:
\[\sin(В) = \frac{{15}}{{17}}\]
\[\cos(В) = \frac{{\sqrt{{17^2 - 15^2}}}}{{17}}\]
\[\tan(В) = \frac{{15}}{{\sqrt{{17^2 - 15^2}}}}\]

Вычисляя значения, получаем:
\[\sin(В) \approx 0,882\]
\[\cos(В) \approx 0,471\]
\[\tan(В) \approx 1,414\]

Таким образом, синус угла В примерно равен 0,882, косинус - 0,471, а тангенс - 1,414.

4. Пусть стороны треугольника равны \(a\), \(b\) и \(c\), а периметр равен 30 см. По определению периметра, имеем:
\[a + b + c = 30\]

Также известно, что средние линии треугольника относятся как 4:5:6. Пусть эти коэффициенты соответствуют сторонам \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно. Тогда:
\[\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k\]

Из этих двух уравнений можно получить значения сторон треугольника:
\[a = 4k\]
\[b = 5k\]
\[c = 6k\]

Подставляем найденные значения в уравнение периметра:
\[4k + 5k + 6k = 30\]
\[15k = 30\]
\[k = 2\]

Теперь можем найти длины сторон треугольника:
\[a = 4 \cdot 2 = 8\]
\[b = 5 \cdot 2 = 10\]
\[c = 6 \cdot 2 = 12\]

Таким образом, стороны треугольника равны 8 см, 10 см и 12 см.