1) Найдите вектор a, его координаты и длину, если a выражается как 1/3 от вектора b минус вектор c, где b имеет
1) Найдите вектор a, его координаты и длину, если a выражается как 1/3 от вектора b минус вектор c, где b имеет координаты {3, -9}, а c имеет координаты {-6, 2}.
2) Пусть даны координаты вершин параллелограмма abcd, где a(-6, 1), b(0, 5), c(6, -4), d(0, -8). Докажите, что abcd является прямоугольником, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
2) Пусть даны координаты вершин параллелограмма abcd, где a(-6, 1), b(0, 5), c(6, -4), d(0, -8). Докажите, что abcd является прямоугольником, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
Sumasshedshiy_Sherlok 38
1) Чтобы найти вектор a, его координаты и длину, используем данное уравнение:\[a = \frac{1}{3}(b - c)\]
Где b и c - векторы с координатами {3, -9} и {-6, 2} соответственно.
Сначала найдем вектор (b - c):
\[b - c = (3, -9) - (-6, 2)\]
Чтобы вычесть вектор c, мы должны инвертировать его знак и сложить с вектором b:
\[b - c = (3, -9) + (6, -2) = (9, -11)\]
Теперь можно найти вектор a:
\[a = \frac{1}{3}(9, -11)\]
Умножим каждую компоненту на \(\frac{1}{3}\):
\[a = (\frac{9}{3}, \frac{-11}{3}) = (3, -\frac{11}{3})\]
Для определения длины вектора a используем формулу:
\[|a| = \sqrt{{a_x}^2 + {a_y}^2}\]
\[|a| = \sqrt{{3}^2 + {(-\frac{11}{3})}^2}\]
\[|a| = \sqrt{9 + \frac{121}{9}}\]
\[|a| = \sqrt{\frac{81+121}{9}}\]
\[|a| = \sqrt{\frac{202}{9}}\]
\[|a| = \frac{\sqrt{202}}{3}\]
Таким образом, вектор a имеет координаты (3, -\(\frac{11}{3}\)) и длину \(\frac{\sqrt{202}}{3}\).
2) Чтобы доказать, что параллелограмм abcd является прямоугольником, нам нужно проверить, являются ли его стороны параллельными и перпендикулярными друг другу, а также равными.
Первым шагом найдем векторы ab, bc, cd и da, используя заданные координаты вершин:
\[ab = (0, 5) - (-6, 1) = (6, 4)\]
\[bc = (6, -4) - (0, 5) = (6, -9)\]
\[cd = (0, -8) - (6, -4) = (-6, -4)\]
\[da = (-6, 1) - (0, -8) = (-6, 9)\]
Затем проверим, являются ли стороны параллельными и перпендикулярными друг другу:
Стороны ab и cd:
\[ab \cdot cd = (6, 4) \cdot (-6, -4) = 6 \cdot -6 + 4 \cdot -4 = -36 - 16 = -52\]
Поскольку произведение скалярных произведений не равно нулю, стороны ab и cd не перпендикулярны друг другу.
Стороны bc и da:
\[bc \cdot da = (6, -9) \cdot (-6, 9) = 6 \cdot -6 + -9 \cdot 9 = -36 - 81 = -117\]
Поскольку произведение скалярных произведений не равно нулю, стороны bc и da не перпендикулярны друг другу.
Таким образом, параллелограмм abcd не является прямоугольником.
Чтобы найти координаты точки пересечения диагоналей параллелограмма, нам понадобятся середины этих диагоналей.
Найдем середины диагоналей diagonal_AC и diagonal_BD:
\[diagonal_{AC} = \frac{1}{2}(a + c) = \frac{1}{2}((-6, 1) + (6, -4)) = \frac{1}{2}(0, -3) = (0, -\frac{3}{2})\]
\[diagonal_{BD} = \frac{1}{2}(b + d) = \frac{1}{2}((0, 5) + (0, -8)) = \frac{1}{2}(0, -3) = (0, -\frac{3}{2})\]
Как видно, середины диагоналей diagonal_AC и diagonal_BD совпадают и имеют координаты (0, -\(\frac{3}{2}\)).
Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей являются (0, -\(\frac{3}{2}\)).