1. Найдите значения функции f (x) = x2/5 – 6x при x = 5 и x = –1, а также найдите корни функции. 2. Определите область

Дракон

9

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку:

1. Для заданной функции \(f(x) = \frac{{x^2}}{{5}} - 6x\) мы должны найти значения функции при \(x = 5\) и \(x = -1\), а также найти корни функции.

Для \(x = 5\), подставляем значение в функцию:
\[f(5) = \frac{{5^2}}{{5}} - 6 \cdot 5 = \frac{{25}}{{5}} - 30 = 5 - 30 = -25\]

Для \(x = -1\), подставляем значение в функцию:
\[f(-1) = \frac{{(-1)^2}}{{5}} - 6 \cdot (-1) = \frac{{1}}{{5}} + 6 = \frac{{1}}{{5}} + \frac{{30}}{{5}} = \frac{{31}}{{5}}\]

Теперь найдем корни функции, для этого приравняем \(f(x)\) к нулю и решим полученное уравнение:
\[x^2/5 - 6x = 0\]
\[x(x/5 - 6) = 0\]
\[x = 0 \quad \text{или} \quad x/5 - 6 = 0\]

Решая второе уравнение, получим:
\[x/5 = 6\]
\[x = 30\]

Таким образом, значения функции \(f(x) = x^2/5 - 6x\) при \(x = 5\) и \(x = -1\) равны соответственно \(-25\) и \(\frac{{31}}{{5}}\), а корни функции - это \(0\) и \(30\).

2. Для функции \(f(x) = \frac{{x + 6}}{{x^2 - 3x - 4}}\) необходимо определить область определения.

Чтобы найти область определения, мы должны исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Решим уравнение \(x^2 - 3x - 4 = 0\) для нахождения значений \(x\), при которых знаменатель равен нулю:
\[(x - 4)(x + 1) = 0\]
\[x - 4 = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0\]
\[x = 4 \quad \text{или} \quad x = -1\]

Значит, функция \(f(x)\) будет определена для всех значений \(x\), кроме \(4\) и \(-1\). Таким образом, область определения функции \(f(x) = \frac{{x + 6}}{{x^2 - 3x - 4}}\) - это все значения \(x\), кроме \(4\) и \(-1\).

3. Для функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\) необходимо построить график и найти область значений, промежуток возрастания и множество решений неравенства \(f(x) > 0\) с использованием графика.

Для начала, построим график функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\):

(График функции \(f(x) = x^2 - 8x + 7\))

Теперь найдем область значений функции, которая представляет собой множество всех возможных значений \(f(x)\). Из графика мы видим, что функция имеет значение ниже определенной точки (вершины параболы). Таким образом, область значений функции \(f(x)\) - это все значения \(y\), меньшие или равные значению функции в вершине параболы.

Далее, нам нужно определить промежуток возрастания функции. Из графика видно, что функция возрастает до достижения вершины параболы, а затем убывает. Таким образом, промежуток возрастания функции - это множество всех значений \(x\), от \(minus;\infty\) до \(x\) вершины параболы включительно.

Наконец, мы должны найти множество решений неравенства \(f(x) > 0\). Из графика видно, что функция положительна только внутри интервала между корнями параболы. Поэтому множество решений неравенства \(f(x) > 0\) - это множество всех значений \(x\) из интервала между корнями параболы.

4.

a) Для функции \(f(x) = \sqrt{x} + 2\) нарисуем график:

(График функции \(f(x) = \sqrt{x} + 2\))

b) Для функции \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) нарисуем график:

(График функции \(f(x) = \sqrt{x + 2}\))

5. Для функции \(f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{8}{{x^2 - 36}}\) необходимо определить область определения.

Чтобы найти область определения, мы должны исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю во втором слагаемом функции, так как деление на ноль не определено. Также мы должны исключить значения \(x\), при которых аргумент корня отрицателен, так как вычисление квадратного корня из отрицательного числа не определено в вещественной области.

Для второго слагаемого:
\[x^2 - 36 = 0\]
\[(x - 6)(x + 6) = 0\]
\[x - 6 = 0 \quad \text{или} \quad x + 6 = 0\]
\[x = 6 \quad \text{или} \quad x = -6\]

Для первого слагаемого:
\[x + 3 \geq 0\]
\[x \geq -3\]

Таким образом, область определения функции \(f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{8}{{x^2 - 36}}\) - это все значения \(x\), кроме 6 и -6, и значения \(x\), большие или равные -3.

6. Мы должны найти значения \(b\) и \(c\), при которых вершина параболы заданной функции \(y = -4x^2 + bx + c\) находится в точке.

Чтобы найти вершину параболы, воспользуемся формулой \(-\frac{b}{2a}\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты параболы \(y = ax^2 + bx + c\).

В данном случае, у нас \(a = -4\), \(b\) и \(c\) неизвестны. Вершина параболы будет иметь координаты \((x, y)\), где \(x = -\frac{b}{2a}\) и \(y = -4\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c\).

Таким образом, чтобы вершина параболы находилась в определенной точке, необходимо найти значения \(b\) и \(c\), при которых \(x = -\frac{b}{2a}\) совпадает с заданной координатой вершины параболы.

Пожалуйста, уточните заданную точку для вершины параболы, чтобы я мог продолжить решение.