1. Найти значения функции f(x)=2cos x при x=4π/3 и x=-π/4. 2. Построить график функции y=cos(x+π/6) и определить

Letuchaya_Mysh

2

Задача 1:
Для того чтобы найти значения функции \(f(x) = 2\cos(x)\) при \(x = \frac{4\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{4}\), мы можем подставить эти значения вместо переменной \(x\) в выражение функции и вычислить результат.

1. Подставим \(x = \frac{4\pi}{3}\):
\(f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\)

Чтобы вычислить значение косинуса \(\frac{4\pi}{3}\), вспомним, что данное значение соответствует точке \((\cos(\theta), \sin(\theta))\) на единичной окружности, где \(\theta\) - угол в радианах. В данном случае, вспомним, что точка \((\cos(\frac{4\pi}{3}), \sin(\frac{4\pi}{3}))\) имеет координаты \((-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})\).

Таким образом, \(f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = 2\times\left(-\frac{1}{2}\right) = -1\).

Ответ: \(f\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -1\).

2. Подставим \(x = -\frac{\pi}{4}\):
\(f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)\)

По аналогии, мы знаем, что точка \((\cos(\frac{-\pi}{4}), \sin(\frac{-\pi}{4}))\) имеет координаты \((\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})\).

Таким образом, \(f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2\times\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\).

Ответ: \(f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\).

Задача 2:
Для построения графика функции \(y = \cos(x+\frac{\pi}{6})\) на отрезке \([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]\), мы можем использовать следующую информацию:

а) Интервалы возрастания и убывания функции: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы должны проанализировать знак производной функции. Найдем производную \(y"\) функции \(y\) и узнаем, когда она положительна (\(y" > 0\)) и отрицательна (\(y" < 0\)).

Найдем производную \(y"\) функции \(y = \cos(x+\frac{\pi}{6})\):
\(y" = -\sin(x+\frac{\pi}{6})\)

Для определения знака производной, мы знаем, что \(\sin(\theta) > 0\) на интервалах \((-\pi; 0)\) и \((\pi; 2\pi)\), а \(\sin(\theta) < 0\) на интервалах \((0; \pi)\) и \((2\pi; 3\pi)\).

Так как у нас в функции \(y"\) стоит \(-\sin(x+\frac{\pi}{6})\), знак производной будет противоположным.

Следовательно, для данной функции:
- Функция возрастает на интервалах \((-\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}; -\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})\) и \((\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6})\).
- Функция убывает на интервале \((-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6})\).

б) Корни (нули) функции: Чтобы найти корни (нули) функции, мы должны решить уравнение \(y = \cos(x+\frac{\pi}{6})\) относительно переменной \(x\).

Решим уравнение:
\(\cos(x+\frac{\pi}{6}) = 0\)

Используя свойства тригонометрической функции косинуса, мы знаем, что \(\cos(\theta) = 0\) в точках \(\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi\), где \(n\) - целое число.

Подставим \(\theta = x+\frac{\pi}{6}\):
\(x+\frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + n\pi\)

Решим уравнение для \(x\):
\(x = \frac{\pi}{2} + n\pi - \frac{\pi}{6}\)

Таким образом, корни (нули) функции на указанном интервале будут:
\(x_1 = \frac{\pi}{2} + 0\cdot\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\)
\(x_2 = \frac{\pi}{2} + 1\cdot\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}\)
\(x_3 = \frac{\pi}{2} + 2\cdot\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}\)

Ответ: корни (нули) функции на отрезке \([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]\) равны \(x_1 = \frac{\pi}{3}\), \(x_2 = \frac{7\pi}{6}\), \(x_3 = \frac{11\pi}{6}\).

в) Максимальное и минимальное значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]\):
Найдем экстремумы функции, а именно - максимальное и минимальное значение функции на указанном отрезке.

Поскольку функция \(y = \cos(x+\frac{\pi}{6})\) является тригонометрической функцией, мы знаем, что ее значения ограничены в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, максимальное значение функции равно 1, а минимальное значение функции равно -1.

Ответ: максимальное значение функции на отрезке \([- \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}]\) равно 1, а минимальное значение функции равно -1.

Итак, мы рассмотрели задачи 1 и 2, дав максимально подробные и обстоятельные ответы.