1. Необходимо пересчитать значение следующих тригонометрических функций: а) sin(5π/4), б) tg(10π/3), в) cos(-7π/3

Snezhka_116

47

Конечно! Давайте начнем с первого вопроса.

1. Пересчет значений тригонометрических функций:

а) Для расчета значения \( \sin(\frac{5\pi}{4}) \) мы используем значение синуса на специальных углах. Угол \( \frac{5\pi}{4} \) соответствует третьей четверти на единичной окружности. Значение синуса в этой четверти отрицательно, а по модулю совпадает с модулем синуса для угла \( \frac{\pi}{4} \). Таким образом, ответ: \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \).

б) Для расчета значения \( \tan(\frac{10\pi}{3}) \) мы также используем значение на специальных углах. Угол \( \frac{10\pi}{3} \) соответствует третьей четверти на единичной окружности. В этой четверти значение тангенса отрицательно и имеет такое же значение по модулю, как тангенс угла, равного \( \frac{\pi}{3} \). Ответ: \( -\sqrt{3} \).

в) Для расчета значения \( \cos(-\frac{7\pi}{3}) \) мы использовали свойство косинуса, согласно которому \( \cos(\theta) = \cos(-\theta) \). Таким образом, мы можем перейти к расчету значения \( \cos(\frac{7\pi}{3}) \). Угол \( \frac{7\pi}{3} \) также соответствует третьей четверти на единичной окружности. Значение косинуса в этой четверти отрицательно и по модулю совпадает с косинусом для угла \( \frac{\pi}{3} \). Ответ: \( -\frac{1}{2} \).

г) Для расчета значения \( \cot(-\frac{9\pi}{4}) \) мы используем свойство котангенса, согласно которому \( \cot(\theta) = \cot(-\theta) \). Таким образом, мы можем перейти к расчету значения \( \cot(\frac{9\pi}{4}) \). Угол \( \frac{9\pi}{4} \) соответствует первой четверти на единичной окружности. Значение котангенса в этой четверти -1. Ответ: -1.

2. Решение уравнений:

а) Уравнение \( \sin(t) = \frac{3}{\sqrt{2}} \) можно решить, применив функцию обратной синусу, или арксинус. Результатом будет \( t = \frac{\pi}{4} \).

б) Уравнение \( \cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) может быть решено с помощью функции обратного косинуса, или арккосинуса. Результатом будет \( t = \frac{3\pi}{4} \).

3. Проверка тождества:

Давайте проверим тождество \( \cos(-t)\cot(t) + \sin(\frac{5\pi}{t}) \). Раскрывая косинус и синус отрицательного угла, получим \( \cos(t)\cot(t) + \sin(\frac{5\pi}{t}) \). Так как \( \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} \), мы можем переписать тождество в виде \( \frac{\cos(t)}{\tan(t)} + \sin(\frac{5\pi}{t}) \).

Мы также знаем, что \( \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cot(t) \), поэтому мы можем переписать тождество как \( \frac{\cos(t)}{\sin(t)} + \sin(\frac{5\pi}{t}) \).

Опять же, используя то, что \( \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} \), мы можем переписать тождество как \( \frac{1}{\tan(t)} + \sin(\frac{5\pi}{t}) \).

Теперь мы можем использовать свойство котангенса \( \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} \), чтобы переписать тождество в следующем виде: \( \cot(t) + \sin(\frac{5\pi}{t}) \).

Таким образом, тождество верно.

4. Доказательство тождества:

Доказательство тождества \( (\tan(t) + \cot(t))\sin(t)\tan(t) = \sin^{-1}(t) \) можно провести путем раскрытия левой части и дальнейших преобразований:

\( (\tan(t) + \cot(t))\sin(t)\tan(t) \)

\( = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \cdot \sin(t) \cdot \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \)

\( = \frac{\sin^2(t)}{\cos(t)} \cdot \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \)

\( = \frac{\sin^3(t)}{\cos^2(t)} \)

\( = \sin(t) \cdot \frac{\sin^2(t)}{\cos^2(t)} \)

\( = \sin(t) \)

С другой стороны, \( \sin^{-1}(t) \) возвращает угол, значение синуса которого равно \( t \). Таким образом, левая и правая части равны, и тождество доказано.

5. Вычисление значения тригонометрического выражения:

Давайте вычислим значение выражения: \( -\sqrt{75} - \sin(1140^\circ) + 4\cos(780^\circ) - \cot^2(30^\circ) \).

Упростим значение внутри синуса и косинуса:

\( \sin(1140^\circ) \) указывает угол, который больше полного оборота на 420 градусов, поэтому значение синуса равно \( \sin(300^\circ) \).

\( \cos(780^\circ) \) указывает угол, который больше полного оборота на 120 градусов, поэтому значение косинуса равно \( \cos(120^\circ) \).

Также, \( \cot(30^\circ) = \frac{1}{\tan(30^\circ)} \).

Теперь мы можем вычислить значение выражения:

\( -\sqrt{75} - \sin(300^\circ) + 4\cos(120^\circ) - \left(\frac{1} {\tan(30^\circ)}\right)^2 \)

\( -\sqrt{75} - \frac{1}{2} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 \)

\( -\sqrt{75} - \frac{1}{2} - 2 - \frac{1}{3} \)

\( -\sqrt{75} - \frac{7}{6} \)

Это и есть значение данного тригонометрического выражения.

6. Расчет переменных:

У нас дано значение \( \sin(t) = -23.3 \) и нам нужно найти значения \( \cos(t) \), \( \tan(t) \) и \( \cot(t) \).

Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \), чтобы найти значение косинуса:

\( \cos^2(t) = 1 - \sin^2(t) \)

\( \cos^2(t) = 1 - (-23.3)^2 \)

\( \cos^2(t) = 1 - 542.89 \)

\( \cos(t) = \sqrt{-541.89} \)

Поскольку косинус отрицательный в данном случае, мы можем определить его знак как \( \cos(t) = -\sqrt{-541.89} \).

Затем мы можем использовать определение тангенса и котангенса для вычисления значений:

\( \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \)

\( \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} \)

\( \tan(t) = \frac{-23.3}{-\sqrt{-541.89}} \)

\( \cot(t) = \frac{1}{\frac{-23.3}{-\sqrt{-541.89}}} \)

\( \tan(t) = \frac{-23.3}{-\sqrt{-541.89}} \)

\( \cot(t) = \frac{-\sqrt{-541.89}}{-23.3} \)

Таким образом, мы получаем значения косинуса, тангенса и котангенса для заданного значения синуса.

7. Если заданное уравнение \( \sin(t) = \sqrt{16} - \sqrt{2} \) существует такое значение t?

Давайте вычислим значение \( \sqrt{16} - \sqrt{2} \): \( \sqrt{16} - \sqrt{2} = 4 - \sqrt{2} \).

Заданное уравнение \( \sin(t) = \sqrt{16} - \sqrt{2} \) можно переписать, используя значение, которое мы только что посчитали: \( \sin(t) = 4 - \sqrt{2} \).

По крайней мере, наши рассуждения показывают, что искомо значение t должно подчиняться условию.

8. Что именно вы хотели узнать в восьмом пункте? Можете предоставить больше информации?