1. Определите, делится ли значение выражения на 3 без выполнения сложения: a) 180 + 144 + 5649; c) 720 + 308 + 2754

Родион_8267

48

1. Для определения деления значения выражения на 3 без выполнения сложения, мы можем использовать свойство деления на 3. Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

a) 180 + 144 + 5649: Сумма цифр числа 180 равна 1 + 8 + 0 = 9. Поскольку 9 делится на 3 без остатка, 180 делится на 3. Аналогично, сумма цифр числа 144 равна 1 + 4 + 4 = 9, что также делится на 3 без остатка. Сумма цифр числа 5649 равна 5 + 6 + 4 + 9 = 24, что также делится на 3 без остатка. Таким образом, значение выражения \(180 + 144 + 5649\) делится на 3 без остатка.

b) 103 + 370 + 7230: Сумма цифр числа 103 равна 1 + 0 + 3 = 4. Поскольку 4 не делится на 3 без остатка, число 103 не делится на 3. Аналогично, сумма цифр числа 370 равна 3 + 7 + 0 = 10, что не делится на 3 без остатка. Сумма цифр числа 7230 равна 7 + 2 + 3 + 0 = 12, что делится на 3 без остатка. Таким образом, значение выражения \(103 + 370 + 7230\) не делится на 3.

c) 720 + 308 + 2754: Сумма цифр числа 720 равна 7 + 2 + 0 = 9, что делится на 3 без остатка. Сумма цифр числа 308 равна 3 + 0 + 8 = 11, что не делится на 3 без остатка. Сумма цифр числа 2754 равна 2 + 7 + 5 + 4 = 18, что делится на 3 без остатка. Таким образом, значение выражения \(720 + 308 + 2754\) делится на 3 без остатка.

d) 472 + 381 + 143: Сумма цифр числа 472 равна 4 + 7 + 2 = 13, что не делится на 3 без остатка. Сумма цифр числа 381 равна 3 + 8 + 1 = 12, что делится на 3 без остатка. Сумма цифр числа 143 равна 1 + 4 + 3 = 8, что не делится на 3 без остатка. Таким образом, значение выражения \(472 + 381 + 143\) не делится на 3.

2. Чтобы определить, значения каких выражений делятся на 5 без выполнения вычитания, мы можем использовать свойство деления на 5. Число делится на 5, если его последняя цифра является 0 или 5. Рассмотрим каждую задачу:

a) 535 - 413: Последняя цифра числа 535 равна 5, поэтому число 535 делится на 5. Последняя цифра числа 413 равна 3, поэтому число 413 не делится на 5. Таким образом, значение выражения \(535 - 413\) не делится на 5.

b) 1215 - 470: Последняя цифра числа 1215 равна 5, поэтому число 1215 делится на 5. Последняя цифра числа 470 равна 0, поэтому число 470 делится на 5. Таким образом, значение выражения \(1215 - 470\) делится на 5.

c) 103247 - 1307: Последняя цифра числа 103247 равна 7, поэтому число 103247 не делится на 5. Последняя цифра числа 1307 равна 7, поэтому число 1307 не делится на 5. Таким образом, значение выражения \(103247 - 1307\) не делится на 5.

3. Чтобы определить, будет ли произведение \(75 \cdot 32 \cdot 27\) делиться на 5, 8, 10, 18 и 45 без выполнения вычислений, мы можем разложить каждое число на простые множители и проверить их соответствие. Давайте рассмотрим каждое число по очереди:

\(75 = 3^1 \cdot 5^2\) - простые множители числа 75.

\(32 = 2^5\) - простые множители числа 32.

\(27 = 3^3\) - простые множители числа 27.

Для деления на 5 необходимо, чтобы в произведении был хотя бы один множитель 5. В данном случае, числа 75 и 27 удовлетворяют этому требованию. Произведение также делится на 5.

Для деления на 8 необходимо, чтобы в произведении было минимум 3 множителя 2. В данном случае, число 32 удовлетворяет этому требованию. Произведение также делится на 8.

Для деления на 10 необходимо, чтобы в произведении были множители 2 и 5. С числами 75 и 27 данное требование выполняется. Произведение также делится на 10.

Для деления на 18 необходимо, чтобы в произведении были множители 2 и 3 в степени не меньше 2. С числами 32 и 27 данное требование выполняется. Произведение также делится на 18.

Для деления на 45 необходимо, чтобы в произведении были множители 3 и 5 в степени не меньше 2. С числами 75 и 27 данное требование выполняется. Произведение также делится на 45.

Таким образом, произведение \(75 \cdot 32 \cdot 27\) делится на 5, 8, 10, 18 и 45.

4. Чтобы определить, кратна ли числу 4 сумма двух последовательных чисел, давайте рассмотрим два случая:

a) Сумма двух четных чисел: Если мы имеем два последовательных четных числа, то они являются соседями на числовой прямой и различаются только четностью. Например, 4 и 6, или 12 и 14. Разница между этими числами всегда равна 2, и эта разница является четным числом. Поэтому, сумма двух последовательных четных чисел всегда будет кратна 4.

b) Сумма двух нечетных чисел: Если мы имеем два последовательных нечетных числа, то они также являются соседями на числовой прямой, но разница между ними равна 2 и всегда является четным числом. Например, 3 и 5, или 7 и 9. Поэтому, сумма двух последовательных нечетных чисел всегда будет кратна 4.

Таким образом, сумма двух последовательных четных чисел и сумма двух последовательных нечетных чисел всегда будет кратна 4.

5. Чтобы определить, при каких значениях \(g\) значения выражения \(11g\) являются простыми числами, мы должны рассмотреть условия, при которых выражение не делится на любое число, кроме 1 и самого себя (то есть, оно будет простым числом).

Выражение \(11g\) будет делиться на 11, если \(g\) будет представлять собой любое число вида \(11 \cdot n\), где \(n\) - целое число. Это происходит поскольку каждая цифра в числе будет равна 1, и сумма таких цифр будет делиться на 11.

Таким образом, значения \(g\), которые представляют собой любое число вида \(11 \cdot n\), где \(n\) - целое число, будут делать выражение \(11g\) простым числом. Например, при \(g = 11\), \(11g = 11 \cdot 11 = 121\) - простое число.