1. Определите координаты вершины параболы для следующих уравнений: а) у = х^2 - х -20 б) у = - х^2 +4х. 2. Постройте

Алексеевич

39

Решение:

1. а) Для определения координат вершины параболы с уравнением \(y = x^2 - x - 20\), мы должны знать формулу для нахождения координат вершины параболы. Данная формула выглядит следующим образом: \((h, k)\), где \(h\) - координата вершины параболы по оси \(x\), \(k\) - координата вершины по оси \(y\).

Сначала найдем координату \(h\). Формула для нахождения координаты \(h\) имеет вид: \(h = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) соответствуют коэффициентам при \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В данном случае, уравнение \(y = x^2 - x - 20\) имеет коэффициенты: \(a = 1\) и \(b = -1\). Подставляя эти значения в формулу, мы получим:

\[h = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем координату \(k\). Для этого подставим значение \(h\) в уравнение и найдем \(k\):

\[k = (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2}) - 20 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 20 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - 80 = -\frac{159}{4}\]

Таким образом, координаты вершины параболы для уравнения \(y = x^2 - x - 20\) равны \((\frac{1}{2}, -\frac{159}{4})\).

б) Теперь рассмотрим уравнение \(y = -x^2 + 4x\). Для нахождения координат вершины параболы, мы будем использовать ту же самую формулу из предыдущего пункта.

Коэффициенты данного уравнения: \(a = -1\) и \(b = 4\). Подставляя эти значения в формулу, мы получим:

\[h = -\frac{4}{2 \cdot -1} = 2\]

Теперь найдем координату \(k\) аналогично предыдущему пункту:

\[k = -2^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4\]

Таким образом, координаты вершины параболы для уравнения \(y = -x^2 + 4x\) равны \((2, 4)\).

2. а) Для построения графика квадратичной функции с уравнением \(y = x^2 + 2x - 15\), мы можем использовать координаты вершины, которые мы уже нашли в предыдущем задании, а также дополнительные точки.

Координаты вершины \(V(\frac{1}{2}, -\frac{159}{4})\).

Для построения графика, мы можем выбрать несколько значений \(x\) и подставить их в уравнение для нахождения соответствующих значений \(y\). Например, давайте подставим \(x = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\):

\[
\begin{align*}
x = -5, \quad &y = (-5)^2 + 2(-5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0 \\
x = -4, \quad &y = (-4)^2 + 2(-4) - 15 = 16 - 8 - 15 = -7 \\
x = -3, \quad &y = (-3)^2 + 2(-3) - 15 = 9 - 6 - 15 = -12 \\
x = -2, \quad &y = (-2)^2 + 2(-2) - 15 = 4 - 4 - 15 = -15 \\
x = -1, \quad &y = (-1)^2 + 2(-1) - 15 = 1 - 2 - 15 = -16 \\
x = 0, \quad &y = 0^2 + 2(0) - 15 = 0 - 0 - 15 = -15 \\
x = 1, \quad &y = 1^2 + 2(1) - 15 = 1 + 2 - 15 = -12 \\
x = 2, \quad &y = 2^2 + 2(2) - 15 = 4 + 4 - 15 = -7 \\
x = 3, \quad &y = 3^2 + 2(3) - 15 = 9 + 6 - 15 = 0 \\
x = 4, \quad &y = 4^2 + 2(4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 \\
x = 5, \quad &y = 5^2 + 2(5) - 15 = 25 + 10 - 15 = 20 \\
\end{align*}
\]

Теперь у нас есть несколько точек, которые мы можем использовать для построения графика:
\((-5, 0), (-4, -7), (-3, -12), (-2, -15), (-1, -16), (0, -15), (1, -12), (2, -7), (3, 0), (4, 9), (5, 20)\).

Построим эти точки на координатной плоскости и проведем гладкую кривую через них. Полученная кривая будет графиком квадратичной функции \(y = x^2 + 2x - 15\).

б) Для построения графика квадратичной функции с уравнением \(y = -2x^2 + 8x\), мы можем использовать ту же самую процедуру, что и в предыдущем задании.

Координаты вершины \(V(2, 4)\).

Подставим различные значения \(x\) и найдем соответствующие значения \(y\):

\[
\begin{align*}
x = -5, \quad &y = -2(-5)^2 + 8(-5) = -2(25) - 40 = -50 - 40 = -90 \\
x = -4, \quad &y = -2(-4)^2 + 8(-4) = -2(16) - 32 = -32 - 32 = -64 \\
x = -3, \quad &y = -2(-3)^2 + 8(-3) = -2(9) - 24 = -18 - 24 = -42 \\
x = -2, \quad &y = -2(-2)^2 + 8(-2) = -2(4) - 16 = -8 - 16 = -24 \\
x = -1, \quad &y = -2(-1)^2 + 8(-1) = -2(1) - 8 = -2 - 8 = -10 \\
x = 0, \quad &y = -2(0)^2 + 8(0) = 0 + 0 = 0 \\
x = 1, \quad &y = -2(1)^2 + 8(1) = -2(1) + 8 = -2 + 8 = 6 \\
x = 2, \quad &y = -2(2)^2 + 8(2) = -2(4) + 16 = -8 + 16 = 8 \\
x = 3, \quad &y = -2(3)^2 + 8(3) = -2(9) + 24 = -18 + 24 = 6 \\
x = 4, \quad &y = -2(4)^2 + 8(4) = -2(16) + 32 = -32 + 32 = 0 \\
x = 5, \quad &y = -2(5)^2 + 8(5) = -2(25) + 40 = -50 + 40 = -10 \\
\end{align*}
\]

Имея некоторые точки \((-5, -90), (-4, -64), (-3, -42), (-2, -24), (-1, -10), (0, 0), (1, 6), (2, 8), (3, 6), (4, 0), (5, -10)\), мы можем построить график квадратичной функции \(y = -2x^2 + 8x\) на координатной плоскости.

Надеюсь, что это решение будет полезно и понятно для вас. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их.