1) Определите значение момента инерции стержня массой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню

Морозная_Роза

58

Задача 1:
Для определения значения момента инерции стержня массой \(m\) и длиной \(l\) относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии \(l/4\) от его конца, воспользуемся формулой для момента инерции прямоугольного стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к его плоскости.

Момент инерции \(I\) прямоугольного стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к его плоскости, выражается следующим образом:

\[I = \frac{1}{3}ml^2\]

Здесь \(m\) - масса стержня, \(l\) - его длина.

Так как в данной задаче ось перпендикулярна стержню и проходит на расстоянии \(l/4\) от его конца, мы можем воспользоваться теоремой Стейнера, которая позволяет найти момент инерции стержня относительно произвольной оси, проходящей параллельно и отстоящей на расстоянии \(d\) от оси стержня. Формула для применения теоремы Стейнера:

\[I = I_0 + md^2\]

Здесь \(I\) - искомый момент инерции относительно искомой оси, \(I_0\) - момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс стержня (в данном случае это просто \( \frac{1}{3}ml^2 \)), \(m\) - масса стержня, \(d\) - расстояние между искомой осью и осью через центр масс.

Применяя теорему Стейнера, подставим известные значения в формулу:

\[I = \frac{1}{3}ml^2 + m \left(\frac{l}{4}\right)^2\]

Упростим выражение:

\[I = \frac{1}{3}ml^2 + \frac{1}{16}ml^2\]
\[I = \frac{16ml^2 + 3ml^2}{48}\]
\[I = \frac{19ml^2}{48}\]

Итак, значение момента инерции стержня массой \(m\) и длиной \(l\) относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей на расстоянии \(l/4\) от его конца, равно \( \frac{19ml^2}{48} \).

Задача 2:
Для определения конечной температуры воды после смешивания 60 литров воды при 90 градусах и 150 литров воды при 23 градусах, учтем закон сохранения энергии.

Предположим, что вся теплота от горячей воды переходит в холодную воду и окружающую среду, и что система изолирована от окружающей среды. В этом случае можно использовать формулу сохранения энергии:

\(Q_{\text{г}} + Q_{\text{х}} = 0\)

где \(Q_{\text{г}}\) - выделившаяся теплота от горячей воды, \(Q_{\text{х}}\) - поглощенная теплота холодной водой.

Выделившаяся теплота от горячей воды может быть определена по формуле:

\(Q_{\text{г}} = cm\Delta T\)

где \(c\) - удельная теплоемкость воды, \(m\) - масса воды, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Поглощенная теплота холодной водой может быть определена по формуле:

\(Q_{\text{х}} = cm\Delta T\)

где \(c\) - удельная теплоемкость воды, \(m\) - масса воды, \(\Delta T\) - изменение температуры.

Для горячей воды масса \(m_1 = 60\) литров, для холодной воды масса \(m_2 = 150\) литров.

Удельная теплоемкость воды \(c = 4.18\) Дж/(град.С).

Изначально горячая вода имеет температуру \(T_1 = 90\) градусов, а холодная вода - температуру \(T_2 = 23\) градуса.

Подставим все значения в формулы:

\(Q_{\text{г}} = c \cdot m_1 \cdot (T_1 - T)\)
\(Q_{\text{х}} = c \cdot m_2 \cdot (T - T_2)\)

Поскольку 15% выделившейся теплоты переходит на нагрев окружающей среды, выражение для выделившейся теплоты будет иметь вид:

\(Q_{\text{г}} = 0.85 \cdot c \cdot m_1 \cdot (T_1 - T)\)

Теперь, когда знаем выражение для выделившейся теплоты, можем приравнять его к выражению для поглощенной теплоты:

\(0.85 \cdot c \cdot m_1 \cdot (T_1 - T) = c \cdot m_2 \cdot (T - T_2)\)

Раскроем скобки и упростим выражение:

\(0.85 \cdot c \cdot m_1 \cdot T_1 - 0.85 \cdot c \cdot m_1 \cdot T = c \cdot m_2 \cdot T - c \cdot m_2 \cdot T_2\)

Порядок переместим и упростим:

\((0.85 \cdot c \cdot m_1 + c \cdot m_2) \cdot T = 0.85 \cdot c \cdot m_1 \cdot T_1 + c \cdot m_2 \cdot T_2\)

Теперь найдем \(T\):

\(T = \frac{0.85 \cdot c \cdot m_1 \cdot T_1 + c \cdot m_2 \cdot T_2}{0.85 \cdot c \cdot m_1 + c \cdot m_2}\)

Подставим известные значения:

\(T = \frac{0.85 \cdot 4.18 \cdot 60 \cdot 90 + 4.18 \cdot 150 \cdot 23}{0.85 \cdot 4.18 \cdot 60 + 4.18 \cdot 150}\)

Вычислим значение \(T\).

Будьте внимательны, при вычислениях используйте значение удельной теплоемкости воды \(c = 4.18\) Дж/(град.С), массу горячей воды \(m_1 = 60\) литров, массу холодной воды \(m_2 = 150\) литров, начальную температуру горячей воды \(T_1 = 90\) градусов и начальную температуру холодной воды \(T_2 = 23\) градуса. В результате получим конечную температуру воды.