1. Переставьте и упростите следующие выражения: 1) (a²b/12c) × (16c/ab²) 2) 28a/(c³(4a²c)) 3) (6a-6b)/(c²

Siren

48

1. Переставим и упростим выражение:
1) \(\frac{{a^2b}}{{12c}} \times \frac{{16c}}{{ab^2}}\)

Воспользуемся свойством дроби, при котором можно сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\(\frac{{a^2b \times 16c}}{{12c \times ab^2}}\)

Сокращаем одинаковые множители:
\(\frac{{a^2b \times 2}}{{3 \times b^2}}\)

Окончательный ответ:
\(\frac{{2a^2}}{{3b}}\)

2) \(\frac{{28a}}{{c^3(4a^2c)}}\)

Мы можем выделить общий делитель \(c\) из знаменателя:
\(\frac{{28a}}{{4a^2c^4}}\)

Упрощаем дробь, делая сокращения:
\(\frac{{7}}{{a \cdot c^3}}\)

3) \(\frac{{6a - 6b}}{{c^2 \cdot \frac{{4c^6}}{{a^2 - b^2}}}}\)

Разделим \(\frac{{4c^6}}{{a^2 - b^2}}\) на \(\frac{{6a - 6b}}{{c^2}}\):
\(\frac{{(6a - 6b) \cdot (a^2 - b^2)}}{{4c^6}}\)

Раскрываем скобки:
\(\frac{{6a^3 - 6ab^2 - 6a^2b + 6b^3}}{{4c^6}}\)

4) \(\frac{{5x - 10}}{{2x + 3}} : \frac{{x^2 - 4}}{{4x + 6}}\)

Поскольку деление двух дробей эквивалентно умножению на обратную дробь, перепишем задачу:
\(\frac{{5x - 10}}{{2x + 3}} \cdot \frac{{4x + 6}}{{x^2 - 4}}\)

Раскроем скобки:
\(\frac{{(5x - 10) \cdot (4x + 6)}}{{(2x + 3) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)}}\)

Сократим подобные множители:
\(\frac{{10(x - 1)}}{{(2x + 3) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)}}\)

На этом закончим задачу.

2. Запишем выражения следующим образом:
1) \(\frac{{5b}}{{b - 3}} - \frac{{b + 6}}{{2b - 6}} \cdot \frac{{90}}{{b^2 + 6b}}\)

2) \(\frac{{a - 8}}{{a + 8}} - \frac{{a + 8}}{{a - 8}} : \frac{{16a}}{{64 - a^2}}\)

На этом закончим задачу.

3. Покажем, что следующее тождество верно:
\(\frac{{\left(\frac{{m}}{{m^2 - 16m + 64}}\right) - \left(\frac{{m + 4}}{{m^2 - 64}}\right)}}{{\left(\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}\right)}} = \frac{{4}}{{m - 8}}\)

Начнем с левой стороны и проведем вычисления:

\(\frac{{\frac{{m}}{{m^2 - 16m + 64}} - \frac{{m + 4}}{{m^2 - 64}}}}{{\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}}}\)

Выполним операции в числителе:
\(\frac{{\frac{{m(m^2 - 64) - (m + 4)(m^2 - 16m + 64)}}{{(m^2 - 16m + 64)(m^2 - 64)}}}}{{\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}}}\)

Раскроем скобки и упростим числитель:
\(\frac{{\frac{{m(m^2 - 64) - (m + 4)(m^2 - 16m + 64)}}{{(m^2 - 16m + 64)(m^2 - 64)}}}}{{\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}}} = \frac{{\frac{{m(m^2 - 64) - (m^3 - 16m^2 + 64m + 4m^2 - 64m - 256)}}{{(m^2 - 16m + 64)(m^2 - 64)}}}}{{\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}}}\)

Сократим подобные слагаемые числителя:
\(\frac{{\frac{{m(m^2 - 64) - (m^3 - 12m^2)}}{{(m^2 - 16m + 64)(m^2 - 64)}}}}{{\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}}}\)

Дальше упростим числитель:
\(\frac{{\frac{{m^3 - 64m - m^3 + 12m^2}}{{(m^2 - 16m + 64)(m^2 - 64)}}}}{{\frac{{3m + 8}}{{m^2 - 64}}}}\)

Сократим подобные слагаемые и заменим деление на умножение на обратную дробь:
\(\frac{{\frac{{12m^2 - 64m}}{{(m^2 - 16m + 64)(m^2 - 64)}}}}{{3m + 8}} \cdot \frac{{m^2 - 64}}{{1}}\)

Сократим дробь на \(m^2 - 64\):
\(\frac{{12m^2 - 64m}}{{(m^2 - 16m + 64)(3m + 8)}}\)

Разложим числитель на множители:
\(\frac{{8m(3m - 8)}}{{(m - 8)^2(3m + 8)}}\)

И, наконец, сократим подобные множители:
\(\frac{{8m}}{{m - 8}}\)

Что и требовалось показать. Ответом является \(\frac{{8m}}{{m - 8}}\).

4. Известно, что \(x^2 + \frac{{9}}{{x^2}} = 55\). Найдем значение выражения \(\frac{{x - 3}}{{x}}\):

Сначала упростим уравнение, умножив его на \(x^2\):
\(x^4 + 9 = 55x^2\)

Теперь перепишем выражение:
\(\frac{{x - 3}}{{x}} = \frac{{x^2 - 3x}}{{x^2}}\)

Подставим значение \(x^2\) из уравнения:
\(\frac{{x^2 - 3x}}{{x^2}} = \frac{{55x^2 - 3x}}{{55x^2}}\)

Получили окончательный ответ:
\(\frac{{55x^2 - 3x}}{{55x^2}}\)