1. Перестройте график функции y=2x^2-5x+3, изменяя следующие детали (если необходимо): а) Определите координаты точек

Lastik

59

Хорошо, давайте решим задачу шаг за шагом:

а) Чтобы найти координаты точек пересечения графика функции с осями координат, нам нужно приравнять y к нулю и решить полученное уравнение.

Когда y = 0, у нас есть уравнение 2x^2 - 5x + 3 = 0. Мы можем решить это квадратное уравнение, используя квадратное уравнение: x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, где a = 2, b = -5 и c = 3.

Рассчитаем значение под корнем: D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1. Так как D положительное, у нас есть два действительных корня.

Применяем формулу для нахождения x: x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(2)}, что приводит к: x_1 = \frac{5 + 1}{4} = 1, x_2 = \frac{5 - 1}{4} = 1.5.

Таким образом, точки пересечения графика функции с осями координат - это (1, 0) и (1.5, 0).

б) Для определения оси симметрии графика нам нужно найти вершину параболы. Парабола задана формулой y = 2x^2 - 5x + 3, и мы можем найти ее вершину с помощью формулы x = \frac{-b}{2a}.

Здесь a = 2 и b = -5. Подставив значения, получаем x = \frac{-(-5)}{2(2)} = \frac{5}{4} = 1.25.

Таким образом, ось симметрии графика функции проходит через точку (1.25, y), где y - это значение функции в данной точке.

в) Чтобы найти наименьшее значение функции, мы должны найти вершину параболы. Мы уже вычислили координату x вершины: x = 1.25. Чтобы найти соответствующее значение y, мы подставляем этот x в уравнение функции:

y = 2(1.25)^2 - 5(1.25) + 3 = 2.5 - 6.25 + 3 = -0.75.

Таким образом, наименьшее значение функции равно -0.75.

г) Чтобы найти значения x, при которых функция принимает значения больше 0, мы должны решить неравенство 2x^2 - 5x + 3 > 0.

Мы можем воспользоваться графиком или решить неравенство, используя метод интервалов. Можно преобразовать неравенство в уравнение: 2x^2 - 5x + 3 = 0.

Мы уже решали это уравнение и нашли два корня: x_1 = 1 и x_2 = 1.5. Эти корни разбивают число на интервалы (-∞, x_1), (x_1, x_2) и (x_2, +∞).

Теперь выберем одну точку из каждого интервала и проверим, принимает ли функция значения больше 0.

Возьмем точку x = 0. Из уравнения y = 2x^2 - 5x + 3 мы получаем y = 3, что является положительным значением. Таким образом, интервал (-∞, x_1) удовлетворяет условию.

Возьмем точку x = 1.2. Подставляя это значение в уравнение, мы получаем y ≈ -0.28, что является отрицательным значением. Значит, интервал (x_1, x_2) не удовлетворяет условию.

Возьмем точку x = 2. Подставляя значение в уравнение, мы получаем y = 3. Таким образом, интервал (x_2, +∞) удовлетворяет условию.

Итак, значения x, при которых функция принимает значения больше 0, - это (-∞, 1) и (1.5, +∞).

д) Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно проанализировать знак производной функции.

Найдем производную функции y = 2x^2 - 5x + 3: y" = 4x - 5.

Производная равна нулю, когда 4x - 5 = 0. Решим это уравнение: 4x = 5, x = \frac{5}{4} = 1.25.

Мы уже знаем, что это значение x является x-координатой вершины параболы, которая является точкой минимума функции. Соответственно, функция будет убывать на интервале (-∞, 1.25) и возрастать на интервале (1.25, +∞).

Итак, промежутки возрастания и убывания функции: (-∞, 1.25) - убывание, (1.25, +∞) - возрастание.