1) Переведите следующее выражение в произведение: а) синус 48 плюс синус 32 б) синус 71 минус синус 13 в) пи по 5 плюс

Артем_1069

16

Давайте решим каждую задачу по порядку.

а) Нам нужно перевести выражение \(\sin{48} + \sin{32}\) в произведение. Для этого воспользуемся формулой суммы синусов:

\[\sin{a} + \sin{b} = 2\sin{\left(\frac{a+b}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a-b}{2}\right)}\]

Подставим значения \(a = 48\) и \(b = 32\) в формулу:

\[\sin{48} + \sin{32} = 2\sin{\left(\frac{48+32}{2}\right)}\cos{\left(\frac{48-32}{2}\right)}\]

Посчитаем значения внутри синусов и косинусов:

\[\sin{40} = 0.642\]
\[\cos{8} = 0.991\]

Теперь подставим найденные значения обратно в формулу:

\[\sin{48} + \sin{32} = 2 \cdot 0.642 \cdot 0.991\]

Выполняя операции, получим конечный ответ:

\[\sin{48} + \sin{32} = 1.277\]

Ответ: 1.277

б) В данной задаче нам необходимо перевести выражение \(\sin{71} - \sin{13}\) в произведение. По аналогии с предыдущим случаем, воспользуемся формулой разности синусов:

\[\sin{a} - \sin{b} = 2\sin{\left(\frac{a-b}{2}\right)}\cos{\left(\frac{a+b}{2}\right)}\]

Заменим \(a = 71\) и \(b = 13\) в формуле:

\[\sin{71} - \sin{13} = 2\sin{\left(\frac{71-13}{2}\right)}\cos{\left(\frac{71+13}{2}\right)}\]

Вычислим значения синусов и косинусов:

\[\sin{29} = 0.488\]
\[\cos{42} = 0.743\]

Подставим найденные значения обратно в формулу:

\[\sin{71} - \sin{13} = 2 \cdot 0.488 \cdot 0.743\]

Выполнив операции, получим окончательный ответ:

\[\sin{71} - \sin{13} = 0.725\]

Ответ: 0.725

в) Чтобы перевести выражение \(\pi \cdot \frac{5}{5} + \cos{\frac{2\pi}{5}}\) в произведение, сначала упростим его. Здесь \(\pi\) - это математическая постоянная, равная примерно 3.14159.

Упростим первое слагаемое:

\(\pi \cdot \frac{5}{5} = \pi \cdot 1 = \pi\)

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

\(\cos{\frac{2\pi}{5}}\)

Мы знаем, что \(\cos{\pi} = -1\), поэтому мы можем заменить \(\frac{2\pi}{5}\) на \(\pi + \frac{3\pi}{5}\):

\(\cos{\frac{2\pi}{5}} = \cos{(\pi + \frac{3\pi}{5})}\)

Используем формулу синуса суммы:

\(\cos{(\pi + \frac{3\pi}{5})} = -\cos{\frac{3\pi}{5}}\)

Теперь осталось выразить этот косинус через произведение с помощью формулы косинуса:

\(\cos{3\pi} = \cos{\pi} = -1\)

\(\cos{\frac{3\pi}{5}} = -\frac{1}{2}\)

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

\(\pi + \cos{\frac{2\pi}{5}} = \pi + (-\cos{\frac{3\pi}{5}})\)

\(\pi + (-\cos{\frac{3\pi}{5}}) = \pi - \frac{1}{2}\)

Ответ: \(\pi - \frac{1}{2}\)

г) Задача состоит в переводе выражения \(\cos{3\pi} - \cos{\frac{2\pi}{7}}\) в произведение.

Начнем с первого слагаемого:

\(\cos{3\pi} = \cos{\pi} = -1\)

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

\(\cos{\frac{2\pi}{7}}\)

Мы знаем, что \(\cos{\pi} = -1\), поэтому мы можем заменить \(\frac{2\pi}{7}\) на \(\pi - \frac{5\pi}{7}\):

\(\cos{\frac{2\pi}{7}} = \cos{(\pi - \frac{5\pi}{7})}\)

Используем формулу синуса разности:

\(\cos{(\pi - \frac{5\pi}{7})} = \cos{\frac{5\pi}{7}}\)

Теперь осталось выразить этот косинус через произведение. У нас нет точного значения для \(\cos{\frac{5\pi}{7}}\), поэтому мы не можем записать его в виде произведения.

Ответ: \(\cos{3\pi} - \cos{\frac{2\pi}{7}}\) не может быть выражено в виде произведения.