1. После какого натурального числа сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел становится больше

Grigoryevich

31

Задача 1:
Дано, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел должна стать больше, чем произведение этих чисел, увеличенное на 31.
Пусть первое из этих чисел будет \(n\), тогда второе число будет \(n+1\).
Составим уравнение по условию задачи:
\(n^2 + (n+1)^2 > (n \cdot (n+1)) + 31\).

Теперь перейдем к его решению:

\[
\begin{aligned}
n^2 + (n+1)^2 &> n(n+1) + 31 \\
n^2 + n^2 + 2n + 1 &> n^2 + n + 31 \\
2n^2 + 2n + 1 &> n^2 + n + 31 \\
n^2 + n - 30 &> 0 \\
(n+6)(n-5) &> 0 \\
\end{aligned}
\]

Мы получили квадратное уравнение, его факторизуем:

\[
(n+6)(n-5) > 0
\]

Рассмотрим два случая:

1. \((n+6) > 0\) и \((n-5) > 0\) \\
Из первого условия, получаем, что \(n > -6\) и из второго условия, что \(n > 5\). \\
Таким образом, натуральное число должно быть больше 5 и больше -6, но так как мы рассматриваем только натуральные числа, нас интересует только числа больше 5. \\
Ответ: после числа 5.

2. \((n+6) < 0\) и \((n-5) < 0\) \\
Из первого условия, получаем, что \(n < -6\) и из второго условия, что \(n < 5\). \\
Но так как мы рассматриваем только натуральные числа, этот случай не удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, после натурального числа 5 сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел становится больше произведения этих чисел на 31.

Задача 2:
Нам нужно разложить число 16 на два слагаемых таким образом, чтобы их произведение было максимальным.
Для этого разложим число 16 на два равных слагаемых, то есть мы ищем числа \(a\) и \(b\), такие, что \(a+b=16\) и \(a=b\).

Решение:
\[
\begin{aligned}
a + b & = 16 \\
a & = b \\
2a & = 16 \\
a & = 8 \\
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы получили, что число 16 можно разложить на два слагаемых 8 и 8, таким образом, их произведение будет равно 64.