1. Представьте следующие выражения в виде произведения множителей: 1) 1000m³ - n³; 3) -8x² - 16xy – 8y²; 5) 256

Alla

7

1. Давайте разберем каждое выражение по очереди:

1) \(1000m³ - n³\)

Для начала, заметим, что это разность кубов.

Формула для разности кубов: \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Применяя эту формулу, получаем:

\(1000m³ - n³ = (10m - n)(100m^2 + 10mn + n²)\)

2) \(-8x² - 16xy – 8y²\)

В данном случае, у нас также есть разность кубов. Применяя формулу разности кубов, получаем:

\(-8x² - 16xy – 8y² = -8(x^2 + 2xy + y^2)\)

3) \(81a³ – ab²\)

Данное выражение не является разностью кубов, поэтому нам нужно просто упростить его как можно больше:

\(81a³ – ab² = a(a^2 - b^2) = a(a + b)(a - b)\)

4) \(5mn + 15m – 10n – 30\)

Для удобства, можно расставить слагаемые в нужном порядке:

\(5mn - 10n + 15m - 30\)

Теперь, посмотрим, какие множители можно вынести за скобки:

\(5mn - 10n + 15m - 30 = 5n(m - 2) + 15(m - 2) = (5n + 15)(m - 2)\)

2. Упростим следующее выражение: \(ay(y - 5)(y + 5) – (y + 2)(y^2 - 2y + 4)\)

Для начала, раскроем скобки:

\(ay(y - 5)(y + 5) – (y + 2)(y^2 - 2y + 4) = ay(y^2 - 25) - (y^3 - 4y^2 + 8y + 2y^2 - 4y + 8)\)

Теперь, соберем подобные слагаемые:

\(ay(y^2 - 25) - (y^3 - 4y^2 + 8y + 2y^2 - 4y + 8) = ay^3 - 25ay - y^3 + 2y^2 - 4y^2 + 8y + 4y - 8\)

Объединяя подобные слагаемые, получаем:

\(ay^3 - y^3 + 2y^2 - 4y^2 + 8y - 25ay + 4y - 8 = -y^3 - 2y^2 + 12y - 25ay - 8\)

3. Разложим следующие выражения на множители:

1) \(-2x^3 - 28x^2 - 98x\)

Для начала, можно вынести общий множитель \(2x\):

\(-2x^3 - 28x^2 - 98x = -2x(x^2 + 14x + 49)\)

Теперь наша задача - разложить \(x^2 + 14x + 49\) на множители. Очевидно, что это квадратный трином, который можно представить в виде квадрата бинома:

\(x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2\)

Итак, окончательное разложение будет:

\(-2x^3 - 28x^2 - 98x = -2x(x + 7)^2\)

2) \(25x^2 - 10xy + y^2 - 9\)

Данное выражение является разницей квадратов, так как \(25x^2\) и \(y^2\) являются квадратами и \(9\) - квадратом числа \(3\).

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

\(25x^2 - 10xy + y^2 - 9 = (5x - y)^2 - 3^2 = (5x - y + 3)(5x - y - 3)\)

4. Решим уравнения:

1) \(2x^3 - 32x = 0\)

В данном уравнении можно вынести общий множитель \(2x\):

\(2x^3 - 32x = 2x(x^2 - 16)\)

Продолжим упрощение, разлагая \(x^2 - 16\) на множители:

\(x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4)\)

Итак, исходное уравнение можно записать в следующем виде:

\(2x(x + 4)(x - 4) = 0\)

Здесь получаем, что один из множителей равен нулю:

\(2x = 0\) или \(x + 4 = 0\) или \(x - 4 = 0\)

Отсюда находим значения \(x\):

\(x = 0\) или \(x = -4\) или \(x = 4\)

2) \(81x^3 + 18x^2 + x = 0\)

Для начала, можно вынести общий множитель \(x\):

\(81x^3 + 18x^2 + x = x(81x^2 + 18x + 1)\)

Затем, разложим \(81x^2 + 18x + 1\) на множители. В данном случае, это квадратный трином, который не представляется в виде произведения удобных множителей. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти его корни:

\(81x^2 + 18x + 1 = 0\)

Дискриминант этого уравнения равен \(18^2 - 4 \cdot 81 \cdot 1 = -504 < 0\), что означает, что у этого уравнения нет рациональных корней. Таким образом, решений у данного уравнения нет.

3) \(x^3 + 6x^2 - x - 6 = 0\)

Для решения этого уравнения, мы можем использовать перебор значений \(x\), начиная с целых чисел. Очевидно, что \(x = 1\) является одним из решений:

\((x - 1)\) является одним из множителей этого уравнения. Поделив полином на \(x - 1\), получим:

\(x^3 + 6x^2 - x - 6 = (x - 1)(x^2 + 7x + 6)\)

Теперь разложим квадратный трином \(x^2 + 7x + 6\) на множители:

\(x^2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 6)\)

В итоге, уравнение примет вид:

\((x - 1)(x + 1)(x + 6) = 0\)

Отсюда находим значения \(x\):

\(x = 1\) или \(x = -1\) или \(x = -6\)

5. Докажем, что значение выражения \(2^9 + 10^3\) делится нацело на 18.

Для начала, вычислим значение выражения \(2^9 + 10^3 = 512 + 1000 = 1512\).

Теперь, чтобы доказать, что число делится нацело на 18, нужно проверить, делится ли оно нацело на 9 и на 2.

Для проверки делимости на 9, нужно посчитать сумму цифр числа 1512, которая равна 9. Поскольку эта сумма делится на 9, то число 1512 тоже делится на 9.

Для проверки делимости на 2, нужно посмотреть на последнюю цифру числа 1512. Если она четная (0, 2, 4, 6, 8), то число делится на 2. В данном случае, последняя цифра - 2, значит число 1512 делится на 2.

Таким образом, число 1512 делится нацело на 18.

6. Найдем значение выражения \(a^2 - b^2\), зная что \(a - b = 10\) и \(ab = 7\).

Используя формулу разности квадратов, значение выражения \(a^2 - b^2\) можно записать так:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)

Подставляем известные значения в данное выражение:

\(a^2 - b^2 = (10)(a + b) = 10a + 10b\)

Заметим, что нам дано также значение произведения \(ab\), которое равно 7. Мы можем использовать это знание для дальнейших вычислений.

Умножим оба выражения \(a - b = 10\) и \(ab = 7\) на \(a + b\):

\((a - b)(a + b) = (10)(a + b)\)

Это даёт нам:

\(a^2 - b^2 = 10(a + b)\)

Теперь подставим \(ab = 7\) в это уравнение:

\(a^2 - b^2 = 10(a + b)\)

\(a^2 - b^2 = 10(\frac{7}{b} + b)\)

\(a^2 - b^2 = 10(\frac{7 + b^2}{b})\)

\(a^2 - b^2 = \frac{10(7 + b^2)}{b}\)

Таким образом, значение выражения \(a^2 - b^2\) равно \(\frac{10(7 + b^2)}{b}\).