Какое из следующих выражений имеет значение -0,5? а) sin 150°; б) cos 150°; в) sin 120°; г) cos 120°

Korova

28

Для решения этой задачи нам понадобится знание о тригонометрических функциях синуса и косинуса и их значениях на основных углах.

Основные углы - это углы, величины которых легко запомнить. Они включают 0°, 30°, 45°, 60°, и 90°. Для нашей задачи нам будет полезно знать значения синуса и косинуса для 30°, 45° и 60°.

Посмотрим на каждое выражение по отдельности:

а) sin 150°: Угол 150° не является основным углом, но мы можем его представить как сумму или разность двух основных углов. 150° = 90° + 60°. Таким образом, sin 150° = sin (90° + 60°).

Пользуясь формулой для синуса суммы двух углов \(\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B\), мы можем записать:

\[\sin (90° + 60°) = \sin 90° \cdot \cos 60° + \cos 90° \cdot \sin 60°\]

Значения синуса и косинуса величины 90° это 1 и 0 соответственно:

\[\sin (90° + 60°) = 1 \cdot \cos 60° + 0 \cdot \sin 60° = \cos 60°\]

Значение косинуса угла 60° можно найти в таблице или пользуясь треугольником равностороннего треугольника. В обоих случаях мы узнаем, что \(\cos 60° = \frac{1}{2}\).

Итак, ответ на вопрос а) равен \(\cos 60° = \frac{1}{2}\).

б) cos 150°: Здесь мы имеем угол 150°, который также не является основным углом. Мы можем его представить как сумму или разность двух основных углов. 150° = 180° - 30°. Таким образом, cos 150° = cos (180° - 30°).

Пользуясь формулой для косинуса разности двух углов \(\cos(A - B) = \cos A \cdot \cos B + \sin A \cdot \sin B\), мы можем записать:

\[cos (180° - 30°) = \cos 180° \cdot \cos 30° + \sin 180° \cdot \sin 30°\]

Значения косинуса и синуса величины 180° это -1 и 0 соответственно:

\[cos (180° - 30°) = -1 \cdot \cos 30° + 0 \cdot \sin 30° = -\cos 30°\]

Значение косинуса угла 30° можно найти в таблице или пользуясь треугольником равностороннего треугольника. В обоих случаях мы узнаем, что \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Итак, ответ на вопрос б) равен \(-\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

в) sin 120°: Угол 120° не является основным углом, но мы можем его представить как сумму или разность двух основных углов. 120° = 90° + 30°. Таким образом, sin 120° = sin (90° + 30°).

Используя формулу для синуса суммы двух углов, мы можем записать:

\[\sin (90° + 30°) = \sin 90° \cdot \cos 30° + \cos 90° \cdot \sin 30°\]

Значения синуса и косинуса величины 90° это 1 и 0 соответственно:

\[\sin (90° + 30°) = 1 \cdot \cos 30° + 0 \cdot \sin 30° = \cos 30°\]

Значение косинуса угла 30° мы уже нашли ранее, это \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Итак, ответ на вопрос в) равен \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

г) cos 120°: Как и в предыдущем пункте, угол 120° можно представить как сумму или разность двух основных углов. 120° = 180° - 60°. Таким образом, cos 120° = cos (180° - 60°).

Используя формулу для косинуса разности двух углов, мы можем записать:

\[cos (180° - 60°) = \cos 180° \cdot \cos 60° + \sin 180° \cdot \sin 60°\]

Значения косинуса и синуса величины 180° это -1 и 0 соответственно:

\[cos (180° - 60°) = -1 \cdot \cos 60° + 0 \cdot \sin 60° = -\cos 60°\]

Мы уже нашли значение косинуса угла 60° ранее, это \(\cos 60° = \frac{1}{2}\).

Итак, ответ на вопрос г) равен \(-\cos 60° = -\frac{1}{2}\).

Итак, значения выражений:

а) sin 150° = \(\cos 60° = \frac{1}{2}\)

б) cos 150° = \(-\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

в) sin 120° = \(\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

г) cos 120° = \(-\cos 60° = -\frac{1}{2}\)

Из этих выражений только ответ в пункте а) равен -0,5.