1. Представьте условие, при котором площадь круга будет равна численно длине его окружности. 2. Продемонстрируйте

Чернышка

48

Задача 1:
Для того, чтобы площадь круга была равна численно длине его окружности, должно выполняться следующее условие: площадь круга \(S\) должна быть равна длине его окружности \(C\).

Задача 2:
Для демонстрации данного утверждения в общем случае, давайте вначале запишем формулы для площади и длины окружности круга.

Площадь круга вычисляется по формуле:
\[S = \pi r^2\]

Длина окружности круга вычисляется по формуле:
\[C = 2\pi r\]

Теперь подставим \(S\) равное \(C\) и решим уравнение:
\[\pi r^2 = 2\pi r\]

Разделим обе части уравнения на \(\pi\):
\[r^2 = 2r\]

Вынесем \(r\) за скобку:
\[r(r - 2) = 0\]

Уравнение имеет два корня: \(r = 0\) и \(r = 2\).

Значит, при условии радиуса круга равного 2, площадь круга будет численно равна длине его окружности.

Задача 3:
Чтобы найти значения радиуса, при которых площадь круга будет численно больше длины его окружности, и значения радиуса, при которых площадь будет численно меньше, рассмотрим два случая.

Случай 1: Площадь круга больше длины его окружности.
Для этого случая нам нужно найти радиус \(r\), при котором \(S > C\).
Из формулы площади круга \(S = \pi r^2\) и формулы длины окружности круга \(C = 2\pi r\) мы можем сделать вывод, что:
\[\pi r^2 > 2\pi r\]
Разделим обе части неравенства на \(\pi\):
\[r^2 > 2r\]
Вынесем все элементы в одну сторону и получим:
\[r^2 - 2r > 0\]
Факторизуем выражение:
\[r(r - 2) > 0\]
Из данного неравенства следует, что \(r < 0\) или \(r > 2\).
То есть, значения радиуса \(r\) меньше 0 или больше 2 приводят к тому, что площадь круга будет численно больше длины его окружности.

Случай 2: Площадь круга меньше длины его окружности.
Для этого случая нам нужно найти радиус \(r\), при котором \(S < C\).
Из формулы площади круга \(S = \pi r^2\) и формулы длины окружности круга \(C = 2\pi r\) мы можем сделать вывод, что:
\[\pi r^2 < 2\pi r\]
Разделим обе части неравенства на \(\pi\):
\[r^2 < 2r\]
Вынесем все элементы в одну сторону и получим:
\[r^2 - 2r < 0\]
Факторизуем выражение:
\[r(r - 2) < 0\]
Из данного неравенства следует, что \(0 < r < 2\).
То есть, значения радиуса \(r\), находящиеся в интервале от 0 до 2, приводят к тому, что площадь круга будет численно меньше длины его окружности.

Примеры:
1. Для случая, когда площадь круга будет численно равна длине его окружности (\(S = C\)), возьмем радиус \(r = 2\). Подставим значения в формулы для площади и длины окружности круга:
\[S = \pi \cdot 2^2 = 4\pi\]
\[C = 2\pi \cdot 2 = 4\pi\]
Таким образом, площадь круга равна численно длине его окружности, если радиус равен 2.

2. Для случая, когда площадь круга будет численно больше длины его окружности (\(S > C\)), возьмем радиус \(r = 3\). Подставим значения в формулы для площади и длины окружности круга:
\[S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\]
\[C = 2\pi \cdot 3 = 6\pi\]
Таким образом, площадь круга (9\(\pi\)) будет численно больше длины его окружности (6\(\pi\)), если радиус равен 3.

3. Для случая, когда площадь круга будет численно меньше длины его окружности (\(S < C\)), возьмем радиус \(r = 1\). Подставим значения в формулы для площади и длины окружности круга:
\[S = \pi \cdot 1^2 = \pi\]
\[C = 2\pi \cdot 1 = 2\pi\]
Таким образом, площадь круга (\(\pi\)) будет численно меньше длины его окружности (2\(\pi\)), если радиус равен 1.