1. Просчитать. 2. выражение : а) косинус 180 * синус 120 * тангенс 135 б) косинус 45 - квадрат синуса 150 + косинус

Tropik_7422

27

Для решения этих задач воспользуемся тригонометрическими формулами и основными свойствами тригонометрических функций.

1. Расчет выражения:
а) Для вычисления \( \cos(180) \), \( \sin(120) \) и \( \tan(135) \) мы можем использовать таблицу значений тригонометрических функций. Однако в данном случае нам потребуется скомбинировать все эти функции. Для этого нам понадобятся следующие формулы:

\[ \cos(x) = \sin(90 - x) \]
\[ \sin(x) = \cos(90 - x) \]
\[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \]

Применяя эти формулы, мы можем преобразовать исходное выражение:
\[ \cos(180) \cdot \sin(120) \cdot \tan(135) = \sin(90 - 180) \cdot \cos(90 - 120) \cdot \frac{\sin(135)}{\cos(135)} \]

Упрощаем:
\[ \sin(-90) \cdot \cos(-30) \cdot \frac{\sin(135)}{\cos(135)} \]

Теперь заметим, что значение \( \sin(-90) \) равно \( -1 \), а значения \( \cos(-30) \), \( \sin(135) \) и \( \cos(135) \) мы также можем найти в таблице значений. Подставляем значения и вычисляем:

\[ (-1) \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\sqrt{6}}{4} \]

Ответ: \( -\frac{\sqrt{6}}{4} \)

б) В данном выражении у нас есть косинус, синус и квадрат синуса. Мы можем применить формулу:

\[ \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \]

Применяя эту формулу и зная значения \( \cos(45) \) и \( \cos(120) \), мы можем выразить искомое выражение:
\[ \cos(45) - \sin^2(150) + \cos(120) = \cos(45) - (1 - \cos^2(150)) + \cos(120) \]

Упрощаем:
\[ \cos(45) - 1 + \cos^2(150) + \cos(120) \]

Значения \(\cos(45)\), \(\cos(150)\) и \(\cos(120)\) мы также можем найти в таблице значений. Подставляем значения и вычисляем:

\[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 + \left(\frac{-1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} \]

Ответ: \( -\frac{1}{4} \)

2. Определение угла между лучом OP и положительной осью OX:
а) В данной задаче у нас есть координаты точки P, поэтому мы можем найти угол с помощью тангенса:
\[ \tan(\theta) = \frac{y_p}{x_p} \]

Подставляя значения \( x_p = -2 \) и \( y_p = 2\sqrt{3} \), мы получаем:
\[ \tan(\theta) = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3} \]

Теперь нам нужно найти сам угол. Для этого мы можем воспользоваться обратной функцией тангенса. Найденное значение -\sqrt{3} соответствует углу -60° или 300°. Однако, поскольку у нас значение y отрицательное, мы ищем угол под отрицательным углом от оси OX, т.е. 300°.

Ответ: Угол между лучом OP и положительной осью OX равен 300°.

б) В этой части задачи, у нас есть координаты \( x_p = 3\sqrt{3} \) и \( y_p = 3 \). Используя формулы, аналогичные предыдущей части, мы можем найти угол между лучом OP и положительной осью OX:
\[ \tan(\theta) = \frac{y_p}{x_p} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Затем мы применяем обратную функцию тангенса и получаем, что угол \(\theta\) равен 30°.

Ответ: Угол между лучом OP и положительной осью OX равен 30°.