1. Разделивший вершину прямоугольника перпендикуляр на два отрезка, меньший из которых имеет длину 2 см, опущен

Martyshka

26

Давайте решим эту задачу пошагово:

Шаг 1: Разберемся с информацией, данной в условии задачи:
- У нас есть прямоугольник.
- У нас есть перпендикуляр, который разделяет вершину прямоугольника.
- Меньший отрезок перпендикуляра имеет длину 2 см.
- Угол между меньшим отрезком перпендикуляра и меньшей стороной прямоугольника составляет 30°.

Шаг 2: Предположим, что меньшая сторона прямоугольника имеет длину \(x\) см.

Шаг 3: Рассмотрим правильный треугольник, которым образуется меньший отрезок перпендикуляра и меньшая сторона прямоугольника. Угол в этом треугольнике составляет 30°, а меньший отрезок равен 2 см. Мы можем использовать свойства треугольников для нахождения длины меньшей стороны прямоугольника.

Шаг 4: В правильном треугольнике, у которого один из углов равен 30°, отношение длины стороны к длине гипотенузы равно \(\frac{1}{2}\).

\[\frac{2}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{2}\]

Шаг 5: Решим уравнение, чтобы найти длину гипотенузы. Умножим обе стороны уравнения на гипотенузу:

\[2 = \frac{\text{гипотенуза}}{2}\]

Шаг 6: Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[4 = \text{гипотенуза}\]

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 4 см.

Шаг 7: Теперь у нас есть гипотенуза прямоугольника и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину меньшей стороны прямоугольника. По теореме Пифагора:

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет1}^2 + \text{катет2}^2\]

Мы знаем, что гипотенуза равна 4 см, а один из катетов равен 2 см. Пусть второй катет равен \(y\) см.

Шаг 8: Подставим известные значения в уравнение Пифагора:

\[4^2 = 2^2 + y^2\]

\[16 = 4 + y^2\]

Шаг 9: Вычтем 4 с обеих сторон:

\[12 = y^2\]

Шаг 10: Извлечем квадратный корень с обеих сторон:

\[\sqrt{12} = \sqrt{y^2}\]

\[2\sqrt{3} = y\]

Таким образом, второй катет равен \(2\sqrt{3}\) см.

Шаг 11: Найдем сумму диагоналей прямоугольника. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для второго прямоугольного треугольника, образованного катетом длиной \(2\sqrt{3}\) см и гипотенузой, равной длине диагоналей прямоугольника.

\[\text{гипотенуза}^2 = \text{катет1}^2 + \text{катет2}^2\]

\[\text{диагонали}^2 = (2\sqrt{3})^2 + x^2\]

\[\text{диагонали}^2 = 12 + x^2\]

Ответом на задачу будут:
- Длина меньшей стороны прямоугольника равна \(2\sqrt{3}\) см.
- Сумма диагоналей прямоугольника равна \(\sqrt{12 + x^2}\) см.