1. Решите эту систему уравнений: x - 2y = 1 и xy + y = 12. 2. Найдите стороны прямоугольника, зная, что одна

Solnce

38

Конечно! Давайте решим каждую задачу по порядку:

1. Решение системы уравнений:
У нас дана система уравнений:
\[
\begin{{align*}}
x - 2y &= 1 \quad (1) \\
xy + y &= 12 \quad (2) \\
\end{{align*}}
\]

Давайте решим ее методом подстановки. Из уравнения (1), мы можем выразить переменную \(x\) через \(y\):
\[
x = 2y + 1 \quad (3)
\]

Подставим \(x\) из уравнения (3) в (2) и решим полученное уравнение для \(y\):
\[
(2y + 1)y + y = 12 \\
2y^2 + y + y = 12 \\
2y^2 + 2y = 12 \\
2y^2 + 2y - 12 = 0 \\
\]

Решим квадратное уравнение:
\[
y^2 + y - 6 = 0 \\
(y + 3)(y - 2) = 0 \\
\]

Получаем два значения для \(y\):
\[
y_1 = -3, \quad y_2 = 2
\]

Теперь, используя найденные значения \(y\), найдем соответствующие значения \(x\) из уравнения (3):
Для \(y_1\):
\[
x = 2(-3) + 1 = -5
\]
Для \(y_2\):
\[
x = 2(2) + 1 = 5
\]

Таким образом, у нас есть два решения для этой системы уравнений:
\[
(x_1, y_1) = (-5, -3), \quad (x_2, y_2) = (5, 2)
\]

2. Найдем стороны прямоугольника:
Давайте предположим, что большая сторона прямоугольника равна \(x\) см, и меньшая сторона равна \(x - 7\) см.

У нас дана информация о диагонали, поэтому мы можем использовать теорему Пифагора:
\[
x^2 + (x - 7)^2 = 13^2 \\
x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169 \\
2x^2 - 14x - 120 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение:
\[
x^2 - 7x - 60 = 0
\]

Факторизуем его:
\[
(x + 5)(x - 12) = 0
\]

Получаем два значения для \(x\):
\[
x_1 = -5, \quad x_2 = 12
\]

Очевидно, что длина не может быть отрицательной, поэтому отбросим \(x_1 = -5\).

Таким образом, длина большей стороны прямоугольника равна 12 см, а длина меньшей стороны будет 5 см, так как \(12 - 7 = 5\).

3. Найдем координаты точек пересечения:
У нас дана окружность \(x^2 + y^2 = 5\) и прямая \(x + 3y = 7\).

Давайте решим эту задачу алгебраически. Подставим \(x\) из уравнения прямой в уравнение окружности:
\[
(7 - 3y)^2 + y^2 = 5
\]

Распишем это уравнение:
\[
49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5
\]

Перенесем все в одну сторону:
\[
10y^2 - 42y + 44 = 0
\]

Разделим оба коэффициента на 2:
\[
5y^2 - 21y + 22 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или квадратного корня:
\[
y = \frac{{21 \pm \sqrt{{21^2 - 4 \cdot 5 \cdot 22}}}}{{10}}
\]

Вычислим значения \(y_1\) и \(y_2\) с использованием дискриминанта:
\[
y_1 = \frac{{21 - \sqrt{121}}}{{10}} = \frac{{21 - 11}}{{10}} = 1
\]
\[
y_2 = \frac{{21 + \sqrt{121}}}{{10}} = \frac{{21 + 11}}{{10}} = 3
\]

Теперь найдем соответствующие значения \(x\) из уравнения прямой:
Подставим \(y = 1\):
\[
x + 3(1) = 7 \implies x + 3 = 7 \implies x = 4
\]
Подставим \(y = 3\):
\[
x + 3(3) = 7 \implies x + 9 = 7 \implies x = -2
\]

Таким образом, у нас есть две точки пересечения:
\((x_1, y_1) = (4, 1)\) и \((x_2, y_2) = (-2, 3)\).

4. Построение множества решений системы неравенств:
У нас дана система неравенств:
\[
\begin{{align*}}
x^2 + y^2 &\leq 9 \quad (1) \\
y - x &\geq 0 \quad (2) \\
\end{{align*}}
\]

Давайте сначала построим границу множества решений для неравенства (1). Граница будет окружностью с центром в начале координат и радиусом 3.

Теперь нарисуем границу для неравенства (2). Для этого нарисуем линию \(y = x\), разделив плоскость на две половины.

Рассмотрим область, ограниченную окружностью из неравенства (1) и линией из неравенства (2). Эта область и будет искомым множеством решений системы.

На координатной плоскости множество решений будет выглядеть следующим образом:

(Insert graphical representation here)

Область, закрашенная светлым или темным цветом, представляет множество решений данной системы неравенств.

Это все шаги для решения заданных задач. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!