Каково наименьшее и наибольшее значение функции y=-x-1/2*sin2x на отрезке от 0 до п/2?

Vechnyy_Put

20

Хорошо, рассмотрим задачу о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции \(y = -x - \frac{1}{2}\sin(2x)\) на отрезке от 0 до \(\frac{\pi}{2}\).

Для начала, найдем значения функции на границах отрезка.

При \(x = 0\):
\[ y = -0 - \frac{1}{2}\sin(2\cdot0) = 0 \]

А при \(x = \frac{\pi}{2}\):
\[ y = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} - 0 = -\frac{\pi}{2} \]

Теперь рассмотрим производную функции для нахождения экстремумов:

\[ y" = -1 - \cos(2x) \]

Необходимо найти значения \(x\), при которых \(y"\) равно нулю, так как это будут точки экстремума функции.

\[ -1 - \cos(2x) = 0 \]

\[ \cos(2x) = -1 \]

Так как \(\cos(2x)\) равен -1 при \(\pi\) и его кратных числах, то получаем две точки экстремума: \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(x = \frac{3\pi}{2}\).

Теперь найдем значения функции в этих точках:

При \(x = \frac{\pi}{2}\):
\[ y = -\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{2} - 0 = -\frac{\pi}{2} \]

При \(x = \frac{3\pi}{2}\):
\[ y = -\frac{3\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin\left(2\cdot\frac{3\pi}{2}\right) = -\frac{3\pi}{2} - 0 = -\frac{3\pi}{2} \]

Итак, наименьшее значение функции на отрезке от 0 до \(\frac{\pi}{2}\) равно \(-\frac{3\pi}{2}\), а наибольшее значение равно 0.