1. Решите систему уравнений x - 2y = 1, |xy + y = 12. 2. Одна сторона прямоугольника больше другой на 7 см, а диагональ

Antonovich

36

1. Для решения данной системы уравнений мы используем метод подстановки или метод сложения/вычитания. Давайте применим метод подстановки.

Исходная система уравнений:
\[
\begin{align*}
x - 2y &= 1 \\
|xy + y &= 12 \\
\end{align*}
\]

Во-первых, решим первое уравнение относительно переменной \(x\):
\[
x = 1 + 2y \quad \text{(1)}
\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:
\[
| (1 + 2y)y + y = 12
\]

Упростим уравнение:
\[
| y + 2y^2 + y = 12
\]

Для удобства решения, рассмотрим два случая:

1) При \(y \geq 0\):
\[
y + 2y^2 + y = 12
\]

Упростим уравнение и сведем его к квадратному уравнению:
\[
2y^2 + 2y - 12 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
\[
D = (2)^2 - 4(2)(-12)
\]
\[
D = 4 + 96 = 100
\]

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
\[
y_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 + \sqrt{100}}}{{2 \cdot 2}} = 2
\]
\[
y_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-2 - \sqrt{100}}}{{2 \cdot 2}} = -4
\]

Подставим значения \(y\) в первое уравнение (1) и найдем соответствующие значения \(x\):
При \(y_1 = 2\):
\[
x = 1 + 2 \cdot 2 = 5
\]

При \(y_2 = -4\):
\[
x = 1 + 2 \cdot (-4) = -7
\]

Таким образом, первый набор решений: \(x = 5\) и \(y = 2\), а второй набор решений: \(x = -7\) и \(y = -4\).

2) При \(y < 0\):
\[
y + 2y^2 + y = 12
\]

Упростим и сведем к квадратному уравнению с отрицательным коэффициентом перед \(y^2\):
\[
2y^2 + 3y - 12 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение:

Как только мы применим квадратную формулу и найдем значение дискриминанта \(D\), он будет равен 105, что является положительным числом. Поэтому у нас есть два корня:
\[
y_3 = \frac{{-3 + \sqrt{105}}}{{4}} \approx 1.091
\]
\[
y_4 = \frac{{-3 - \sqrt{105}}}{{4}} \approx -4.591
\]

Подставим значения \(y\) в первое уравнение (1) и найдем соответствующие значения \(x\):
При \(y_3 \approx 1.091\):
\[
x \approx 1 + 2 \cdot 1.091 \approx 3.182
\]

При \(y_4 \approx -4.591\):
\[
x \approx 1 + 2 \cdot (-4.591) \approx -7.182
\]

Таким образом, третий набор решений: \(x \approx 3.182\) и \(y \approx 1.091\), а четвертый набор решений: \(x \approx -7.182\) и \(y \approx -4.591\).

Итак, система имеет четыре набора решений:
\[(x, y) = (5, 2), (-7, -4), \left(3.182, 1.091\right), \left(-7.182, -4.591\right)\]

2. Дано:
Одна сторона прямоугольника больше другой на 7 см, а диагональ равна 13 см.

Обозначим стороны прямоугольника через \(x\) и \(y\). По условию задачи, \(x = y + 7\) и диагональ \(d = 13\).

Используя теорему Пифагора, имеем:
\[
d^2 = x^2 + y^2
\]

Подставим значения \(x = y + 7\) и решим уравнение относительно \(y\):

\[
(13)^2 = (y + 7)^2 + y^2
\]

\[
169 = y^2 + 14y + 49 + y^2
\]

\[
2y^2 + 14y + 49 - 169 = 0
\]

\[
2y^2 + 14y - 120 = 0
\]

Решим это квадратное уравнение:

Используя формулу дискриминанта, найдем значение дискриминанта \(D\). В данном случае \(D = 14^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-120) = 196 + 960 = 1156\), что является положительным числом.

Таким образом, имеем два корня:
\[
y_1 = \frac{{-14 + \sqrt{D}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{-14 + \sqrt{1156}}}{{4}} = \frac{{-14 + 34}}{{4}} = 5
\]
\[
y_2 = \frac{{-14 - \sqrt{D}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{-14 - \sqrt{1156}}}{{4}} = \frac{{-14 - 34}}{{4}} = -12
\]

Подставим значения \(y\) в \(x = y + 7\) и найдем соответствующие значения \(x\):

При \(y_1 = 5\):

\(x = 5 + 7 = 12\)

При \(y_2 = -12\):

\(x = -12 + 7 = -5\)

Таким образом, стороны прямоугольника равны:
\(x = 12\) и \(y = 5\),
\(x = -5\) и \(y = -12\).

3. Для того чтобы найти координаты точки пересечения окружности \(x^2 + y = 5\) и прямой \(x + z = 7\), мы можем использовать метод подстановки.

Начнем с уравнения прямой:
\(x + z = 7\)

Учитывая, что \(z = 7 - x\), мы можем заменить \(z\) в уравнении окружности:

\(x^2 + y = 5\)

\(x + 7 - x = 7\)

\(y = 5 - x^2\)

Теперь мы имеем систему уравнений:
\[
\begin{align*}
y &= 5 - x^2 \\
y &= 7 - x
\end{align*}
\]

Чтобы найти точку пересечения, приравняем \(y\) в обоих уравнениях:

\(5 - x^2 = 7 - x\)

Перенесем все члены в одну сторону:

\(x^2 - x + 2 = 0\)

Решим это квадратное уравнение:

Используя формулу дискриминанта, найдем значение дискриминанта \(D\). В данном случае \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7\), что является отрицательным числом. Таким образом, у этого квадратного уравнения нет решений на вещественной числовой прямой.

Следовательно, эти два графика не пересекаются и не имеют точки пересечения.

4. Найдем график системы неравенств:
\[
\begin{align*}
y &\geq 1 \\
x &\leq 1 \\
1 &\leq 5 \\
\end{align*}
\]

Прежде всего, построим график первого неравенства \(y \geq 1\). Это неравенство означает, что все точки, находящиеся на или выше горизонтальной линии \(y = 1\), удовлетворяют данному неравенству. Это линия будет полностью закрашена ниже линии \(y = 1\), чтобы указать все возможные значения \(y\).

Затем построим график второго неравенства \(x \leq 1\). Это неравенство означает, что все точки, находящиеся на или левее вертикальной линии \(x = 1\), удовлетворяют данному неравенству. Эта линия будет полностью закрашена слева от линии \(x = 1\), чтобы указать все возможные значения \(x\).

Наконец, построим график третьего неравенства \(1 \leq 5\). Это неравенство истинно для всех значений \(x\) и \(y\), что удовлетворяет тем условиям и уже включено в графики предыдущих неравенств.

Итак, множество решений системы неравенств - это область, где все три области перекрываются: все точки ниже линии \(y = 1\), все точки левее линии \(x = 1\) и все точки, находящиеся внутри ограничивающих границ. Эта область будет закрашена и можно представить ее в виде закрашенного квадрата с вершинами \((1, 1)\), \((1, 5)\), \((5, 1)\) и \((5, 5)\).

5. Для решения системы уравнений \(x = 5x\) нам нужно найти значения \(x\), которые удовлетворяют данному условию.

Перенесем все члены в одну сторону:
\(x - 5x = 0\)

Упростим:
\(-4x = 0\)

Разделим обе части на \(-4\):
\[x = 0\]

Таким образом, решением данной системы уравнений является \(x = 0\).