Как можно решить системы линейных уравнений с использованием формул Крамера?

Пуфик

19

Решение системы линейных уравнений с использованием формул Крамера включает в себя несколько шагов. Давайте разберемся подробнее.

Предположим, у нас есть система линейных уравнений с n переменными:

\[
\begin{align*}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n &= b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n &= b_2 \\
\ldots \\
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n &= b_n \\
\end{align*}
\]

где \(a_{ij}\) - коэффициенты перед переменными, \(x_j\) - переменные, а \(b_i\) - свободные члены.

1. Вычислим главный определитель \(D\) системы, он равен определителю матрицы коэффициентов перед переменными:

\[
D =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\]

2. Вычислим определители \(D_1, D_2, \ldots, D_n\) системы, заменяя столбец коэффициентов перед переменными на столбец свободных членов:

\[
D_1 =
\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
b_2 & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\
\ldots \\
b_n & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\]

\[
D_2 =
\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & b_2 & \ldots & a_{2n} \\
\ldots \\
a_{n1} & b_n & \ldots & a_{nn} \\
\end{vmatrix}
\]

\[
\ldots
\]

\[
D_n =
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & b_2 \\
\ldots \\
a_{n1} & a_{n2} & \ldots & b_n \\
\end{vmatrix}
\]

3. Найдем значения переменных \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) с помощью формул Крамера:

\[
x_1 = \frac{D_1}{D}, \quad x_2 = \frac{D_2}{D}, \quad \ldots, \quad x_n = \frac{D_n}{D}
\]

Таким образом, используя формулы Крамера, мы можем решить систему линейных уравнений и получить значения всех переменных.

Важно отметить, что метод Крамера применим только в случае, когда главный определитель \(D\) системы не равен нулю. Если \(D = 0\), то система может быть вырожденной или иметь бесконечное количество решений.